Билинейные формы: изоморфизмы и двойственные пространства

Матрица Грама и смена базиса

Как и любой линейный оператор, любую билинейную форму в конечномерном пространстве можно полностью и без потери информации описать с помощью квадратной матрицы. Для этого в пространстве выбирается базис, и вычисляются значения формы на всех возможных парах базисных векторов. Полученные числа записываются в так называемую матрицу Грама. После этого значение билинейной формы на любых двух произвольных векторах вычисляется через простое матричное умножение: строка координат первого вектора умножается на матрицу Грама, а затем на столбец координат второго вектора. При переходе к новому базису матрица билинейной формы меняется по правилу конгруэнтности (умножаясь на матрицу перехода и ее транспонированную версию), что отличает ее от матриц линейных операторов.

Двойственные (сопряженные) пространства

Понять истинную природу билинейных форм невозможно без концепции двойственного пространства. Двойственное пространство (обозначается V*) — это множество всех линейных функционалов, которые можно определить на исходном пространстве V. Само по себе V* также является векторным пространством той же размерности. Билинейная форма выступает естественным мостом между пространством V и его двойственным V*. Любой невырожденной билинейной форме соответствует изоморфизм (взаимно однозначное соответствие) между V и V*. То есть, задавая форму, мы автоматически задаем правило, по которому каждый вектор пространства однозначно превращается в линейную функцию, действующую на другие векторы. В квантовой механике это эквивалентно переходу между бра- и кет-векторами в нотации Дирака.

Симметричные и кососимметричные формы

Среди всех возможных билинейных форм выделяют два критически важных класса: симметричные и кососимметричные (антисимметричные). Симметричная форма не меняет своего значения при перестановке аргументов (B(x,y) = B(y,x)). Ее матрица всегда симметрична, и именно такие формы порождают евклидову геометрию и квадратичные формы. Кососимметричная форма, напротив, меняет знак при перестановке аргументов (B(x,y) = -B(y,x)). Это означает, что значение формы от двух одинаковых векторов всегда строго равно нулю. Кососимметричные формы образуют фундамент симплектической геометрии, которая является математическим аппаратом классической гамильтоновой механики (описывающей движение планет и маятников в фазовом пространстве).

Закон инерции Сильвестра

При изучении симметричных билинейных форм над полем действительных чисел одной из главных целей является приведение их матрицы к простейшему, диагональному виду (каноническому виду). На диагонали такой матрицы останутся только единицы, минус единицы и нули. Британский математик Джеймс Сильвестр доказал фундаментальный закон инерции: хотя способов привести форму к диагональному виду бесконечно много (базис можно выбирать по-разному), количество положительных (+1), отрицательных (-1) и нулевых коэффициентов на диагонали всегда будет оставаться неизменным. Эти три числа являются абсолютными инвариантами билинейной формы. Они определяют так называемую сигнатуру метрики. Например, пространство-время в теории относительности Эйнштейна описывается симметричной билинейной формой с сигнатурой (1, -1, -1, -1).