Алгебра Ли и группы Ли: матричный подход к непрерывным симметриям

Матричные группы: непрерывность и дифференцируемость

Группа Ли — это множество матриц, которое одновременно является гладким многообразием (поверхностью в многомерном пространстве) и алгебраической группой (матрицы можно перемножать и обращать, оставаясь внутри множества). Самые известные примеры — группа всех ортогональных матриц, описывающих вращения в трехмерном пространстве SO(3), и группа специальных унитарных матриц SU(2), описывающая спин электрона в квантовой физике. Пространство этих матриц имеет определенную размерность (например, SO(3) трехмерно, так как вращение задается тремя углами). Главная трудность работы с группами Ли заключается в том, что матрицы в них перемножаются некоммутативно, а само пространство является кривым (неевклидовым).

Алгебра Ли: касательное пространство

Чтобы упростить работу с искривленным пространством группы, мы рассматриваем только бесконечно малые преобразования — элементы, расположенные бесконечно близко к единичной матрице I. Если мы вычислим производные от кривых матриц в единичной точке, мы получим линейное векторное пространство, которое является касательной гиперплоскостью к группе Ли. Это касательное пространство и называется алгеброй Ли (обозначается строчными буквами, например, so(3) или su(2)). Элементы алгебры Ли — это уже не вращения, а генераторы вращений. Например, для группы ортогональных матриц SO(3) генераторами (алгеброй Ли) являются все кососимметричные матрицы размера 3x3. Работать с алгеброй Ли потрясающе удобно, так как это плоское, обычное линейное пространство, где матрицы можно складывать и умножать на числа.

Матричный коммутатор (Скобки Ли)

Хотя в алгебре Ли можно складывать векторы, обычное умножение матриц выведет нас за пределы алгебры. Чтобы алгебра сохраняла информацию о кривизне исходной группы Ли, в ней вводится специальная операция умножения, называемая коммутатором (или скобками Ли): [A, B] = AB - BA. Коммутатор показывает, насколько сильно две матрицы «отказываются» коммутировать. Если коммутатор равен нулевой матрице, значит AB = BA. Структура алгебры Ли полностью определяется тем, как коммутируют между собой ее базисные матрицы (генераторы). В квантовой механике коммутатор операторов координат и импульса дает мнимую единицу, умноженную на постоянную Планка, что мгновенно порождает знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга.

Экспоненциальное отображение: мост между мирами

Каким образом можно вернуться из плоской алгебры Ли обратно на искривленную поверхность группы Ли? Этот переход осуществляется с помощью матричной экспоненты, вычисляемой через ряд Тейлора: exp(A) = I + A + A^2/2! + ... Если взять любую кососимметричную матрицу X из алгебры Ли so(3) и вычислить ее матричную экспоненту exp(X), мы со стопроцентной гарантией получим ортогональную матрицу, принадлежащую группе Ли SO(3). Это экспоненциальное отображение является величайшим инструментом теоретической физики. Оно позволяет решать сложные дифференциальные уравнения непрерывных преобразований путем сведения их к простой линейной алгебре генераторов, а затем «возвращать» решение в физический мир с помощью экспоненцирования матриц.