I ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Признак сравнения
1) Если  , начиная с некоторого  и ряд  (2) сходится, то ряд (1) также сходится, а если ряд (1)
расходится, то расходится и ряд (2).
В качестве рядов для
сравнения удобно рассматривать :
а) геометрическую
прогрессию  ,  , сходящуюся при  и расходящуюся при  ;
б) гармонический ряд  , который расходится;
в) ряд Дирихле  , сходящийся при  и расходящийся, при p<1 ( что доказывается
с помощью интегрального признака Коши).
2) Если существует конечный и отличный от нуля предел     (в частности,  , то ряды (1) и (2)
сходятся и расходятся одновременно.
Пример 1. Исследовать на
сходимость ряд  .
Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+ ), где - бесконечно малая величина при n , и известно, что ln(1 ~, то этот ряд сравниваем с рядом
 , представляющим собой
бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/7<1, которая
сходится, следовательно, и исходный ряд
сходится.
Пример 2. Исследовать
ряд  .
n-й член данного ряда:  ~  , т.е. при n ведет себя
как гармонический, следовательно, ряд также расходится.
Часто, прежде чем использовать какой-либо из достаточных признаков
сходимости ряда, необходимо использовать понятие эквивалентных бесконечно малых
величин при  и обязательно
проверить необходимые условия сходимости исследуемого ряда.
Признак Даламбера
Пусть  , начиная с некоторого n=n0 и существует предел  , то ряд (1) сходится при q<1
и расходится при q<0.
Если q=1,
то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.
Пример 3.  .
Найдем 
следовательно,
исследуемый ряд сходится.
Пример 4. Исследовать ряд 
Найдем
 ,
следовательно, ряд сходится.
Признак
Коши (радикальный)
Пусть
 (начиная с некоторого
n0)
и существует предел  . Тогда ряд (1) сходится , если q<1, и расходится, если q>1, а при q=1 вопрос о сходимости
ряда (1) остается открытым.
Пример 5  .
Найдем  ,
следовательно, ряд расходится.
Интегральный признак Коши
Если  , где функция f(x) положительна, монотонно убывает и
непрерывна при  , то ряд (1) и
интеграл  сходятся и расходятся
одновременно.
Пример 6. Исследовать ряд на сходимость
 ,
тогда
 и  .
Исследуем
несобственный интеграл на сходимость
 ,
т.е. этот несобственный
интеграл сходится, следовательно, и
исходный ряд также сходится.
В качестве характерных ошибок следует
отметить, что иногда сразу пытаются пользоваться каким-либо из достаточных
признаков сходимости ряда, не проверив
необходимого признака сходимости, например, при исследовании на
сходимость ряда:
Пример 7. 
При исследовании этого ряда пытаются сразу
применить радикальный признак Коши, не проверив, выполняется ли необходимый
признак сходимости.
Исследуем ряд на
сходимость:
 .
Таким образом, не выполнен необходимый признак сходства ряда, следовательно, все
другие исследования лишены смысла, ряд расходится.
2.
Знакопеременные ряды
При исследовании на сходимость
знакопеременных рядов необходимо их исследовать на абсолютную и условную
сходимость:
1)
абсолютная сходимость, когда сходится
знакоположительный ряд, составленный из модулей членов знакопеременного ряда;
2)
условная сходимость, когда ряд из модулей
является расходящимся, а знакопеременный
ряд при этом сходится.
Проверка абсолютной сходимости проводится с
использованием признаков сходимости знакопостоянных рядов.
Для доказательства условной сходимости можно применить признак
Лейбница: если для знакопеременного ряда выполнены следующие условия:
1)
ряд знакочередующийся, т.е.  ;
2)  ;
3)  ,
то ряд сходится ( по
крайней мере условно).
Пример 8. Исследовать на
сходимость ряд: 
Проверим вначале,
обладает ли ряд абсолютной сходимостью. Ряд из  имеет вид  , т.е. является
расходящимся рядом (гармонический ряд). Таким образом, абсолютной
сходимости нет.
Применим признак Лейбница:
1) Ряд является
знакочередующимся;
2)  ;
3)  .
Следовательно,
рассматриваемый ряд сходится условно.
II.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Для функциональных рядов вида можно найти область
сходимости, т.е. множество значений х, при подстановке каждого из которых в  полученный числовой
ряд будет сходящимся.
Для определения области сходимости можно
воспользоваться признаком Даламбера, т.е. найти  .
В
таком случае значения х, принадлежащие области сходимости, являются решениями
неравенства |f(x)|<1. Так как при |f(x)|=1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости числового
ряда, решения уравнения |f(x)| =1 нужно рассматривать отдельно.
Пример 9. Найти область сходимости
функционального ряда 
 .
Решением неравенства  является интервал
(-2;2).
Исследуем сходимость ряда на границах: при х=-2 и при х=2.
Если х=-2, то ряд  расходится, так как не
выполнено необходимое условие сходимости. Тот же результат получим при х=2.
Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (-2,2).
III. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Частный случай функциональных рядов представляют степенные ряды вида  , где  . Область сходимости такого ряда представляет собой интервал
( ), возможно, включающий границы. Величина R
называется радиусом сходимости степенного ряда и определяется по формуле
Даламбера:  или по формуле
Коши-Адамара  .
Пример 10.
Найти
область сходимости степенного ряда  .
Используем формулу Коши-Адамара  .
Область сходимости имеет вид  или  .
Проверим сходимость ряда на границах области:
при  числовой ряд  расходится, т.к. не
выполнено необходимое условие
сходимости. Аналогичный результат получим при
 . Следовательно, областью сходимости данного ряда является
интервал  .
IV. РЯДЫ ТЕЙЛОРА
При
разложении функции в ряд Тейлора нужно найти коэффициенты степенного ряда  , имеющие вид  .
В ряде случаев можно использовать известные разложения функций  в окрестности  .
Пример 11. Разложить в ряд Тейлора при
 функцию 
Разложение в степенной
ряд допускает почленное интегрирование и дифференцирование.
Пример 12. Разложить в ряд Тейлора в
окрестности  функцию  .
Разложим в ряд производную данной функции  , воспользовавшись табличным разложением для функции 
 .
Проинтегрировав общий член полученного ряда,
и, учитывая, что y(0)=0,
получим искомое разложение:  .
|
