Вещественный и комплексный анализ. Учебное пособие

Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ. Учебное пособие. Часть 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление. 298 с.

Учебник состоит из одного файла формата PDF. Скачать.

Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ 1 Множества: отношения и операции . . . . . . . . . . . . 5

§ 2 Некоторые сведения из математической логики . 8

1 Высказывания и операции над ними . . . . . . . . . . 8

2 Формулы алгебры высказываний и их применения . 10

3 Предикаты и кванторные операции над ними . . . . 14

§ 3 Первоначальные сведения об отображениях . . 16

1 Отображение, его график, сужение и продолжение 16

2 Образы и прообразы множеств при отображениях . 18

3 Композиция отображений. Обратное отображение . 19

4 Числовые функции и способы их задания . . . . . . 20

5 Монотонные функции. Обратные функции . . . . . . 22

6 Четные, нечетные и периодические функции . . . . . 23

Задачи к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Глава 2. ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ

§ 1 Натуральные, целые, рациональные числа . . . . . . 29

1 Отношение эквивалентности, классы эквивалентности 29

2 Мощность множества. Целые положительные числа 30

3 Отношение порядка на множестве N . . . . . . . . . 33

4 Построение кольца всех целых чисел . . . . . . . . . 36

5 Построение множества всех рациональных чисел . 39

6 Арифметические операции над рациональными числами

7 Отношение порядка на множестве Q . . . . . . . . . 42

8 Представление рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей

9 Изображение рациональных чисел точками числовой оси

§ 2 Вещественные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1 Сечения Дедекинда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Множество R всех вещественных чисел и его полнота 56

3 Числовые множества и их границы . . . . . . . . . . 61

§ 3 Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

§ 4 Элементы общей топологии . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1 Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . 71

2 Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . 73

Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Глава 3. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ

§ 1 Последовательности и их пределы . . . . . . . . . . . . 81

1 Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2 Общие свойства пределов. Предел и арифметические операции

3 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

§ 2 Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы . . 90

1 Предел и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2 Нижний и верхний пределы последовательности . . 95

3 Критерий Коши. Полнота . . . . . . . . . . . . . . . . 97

§ 3 Компактность числовых множеств . . . . .99

Задачи к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Глава 4. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И ИХ СУММЫ

§ 1 Числовые ряды, их сходимость и расходимость . 111

1 Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2 Некоторые операции над рядами . . . . . . . . . . . . 114

3 Критерий Коши и его следствия . . . . . . . . . . . . 116

§ 2 Признаки сходимости и расходимости . . . . . . . . . . 117

1 Критерий сходимости и признаки сравнения . . . . . 117

2 Обобщенный гармонический ряд . . . . . . . . . . . . 120

3 Признаки Коши и Даламбера . . . . . . . . . . . . . 122

4 Другие признаки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

§ 3 Исследование на сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . 130

1 Абсолютная и условная сходимость числовых рядов 130

2 Признак Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3 Преобразование Абеля. Неравенства Абеля . . . . . 135

4 Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов . . . . 136

§ 4 Перестановки членов ряда. Умножение рядов . . 138

1 Понятие о перестановке членов ряда . . . . . . . . . 138

2 Перестановки членов абсолютно сходящихся рядов . 139

3 Перестановки членов условно сходящихся рядов . . 141

4 Умножение рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Задачи к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

§ 1 Пределы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

1 Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2 Общие свойства пределов функций . . . . . . . . . . 154

3 Предел и неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

4 Предел и арифметические операции . . . . . . . . . . 157

5 Пределы монотонных функций . . . . . . . . . . . . . 161

6 Предел композиции функций . . . . . . . . . . . . . . 162

7 Критерий Коши существования предела функции . . 164

8 Сравнение асимптотического поведения функций и вычисление некоторых пределов

§ 2 Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства

1 Понятие непрерывной и разрывной функций в точке 169

2 Точки разрыва и их классификация . . . . . . . . . . 172

3 Функция Дирихле и функция Римана . . . . . . . . . 175

4 Локальные свойства непрерывных функций . . . . . 176

§ 3 Глобальные свойства непрерывных функций . . . . . . 178

1 Теоремы Больцано   Коши и Вейерштрасса . . . . . 178

2 Равномерная непрерывность. Теорема Кантора . . . 181

3 Критерий непрерывности функции на множестве. Теорема о непрерывности обратной функции

§ 4 Элементарные функции и их непрерывность . . . . . . 185

1 Понятие элементарной функции . . . . . . . . . . . . 185

2 Непрерывность элементарных функций . . . . . . . . 194

§ 5 Некоторые свойства непрерывных отображений . . . . 195

1 Связные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

2 Непрерывные отображения топологических пространств

Задачи к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Глава 6. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 1 Дифференцируемые функции . . . . . . . . . . . . . . . 202

1 Основные понятия и простейшие факты . . . . . . . 202

2 Дифференцируемость вектор-функций . . . . . . . . 207

3 C-дифференцируемость и аналитичность функций

комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . 208

§ 2 Геометрический и физический смысл производной . 209

1 Касательная к графику функции . . . . . . . . . . . 209

2 Физический смысл производной . . . . . . . . . . . . 212

3 Односторонние и бесконечные производные . . . . . 213

§ 3 Основные правила вычисления производных . . . . . 214

1 Основные правила вычисления производных . . . . . 214

2 Вычисление табличных производных . . . . . . . . . 220

3 Некоторые другие правила вычисления производных 224

§ 4 Производные и дифференциалы высших порядков . 226

1 Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . 226

2 Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . 232

Задачи к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Глава 7. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1 Теоремы ѕо средних значенияхї. Правило Лопиталя . 236

1 Теоремы ѕо средних значенияхї . . . . . . . . . . . . 236

2 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей . . . . . . . 242

§ 2 Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

1 Формула Тейлора для многочлена . . . . . . . . . . . 245

2 Формула Тeйлора для произвольной функции . . . . 246

3 Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

§ 3 Степенные ряды. Ряды Тейлора. Формулы Эйлера . . 252

1 Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

2 Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3 Формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Задачи к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Глава 8. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1 Условия монотонности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

1 Условия монотонности функции . . . . . . . . . . . . 261

2 Необходимое условие локального экстремума . . . . 262

3 Достаточные условия локального экстремума . . . . 263

§ 2 Выпуклость, точки перегиба, асимптоты . . . . . . . 267

1 Свойство выпуклости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

2 Неравенство Иенсена и его применения . . . . . . . . 271

3 Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

4 Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Задачи к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ . . . 283

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . 284

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291