Введение в теорию нелинейных колебаний.
О.М. Киселев. 98 с.
Учебник
состоит из одного файла формата
PS, запакованного WinZip. Скачать.
Основная
цель пособия - познакомить с методами исследования
обыкновенных нелинейных уравнений. Изложение
материала по возможности индуктивно, от
простого к сложному, и основано исключительно
на примерах. Часто глубокие и громоздкие
математические теории возникают при обобщениях
решений одной или нескольких хорошо изученных
и понятых задач. Подробный анализ решений
этих задач представляется намного более
важным при изучении некоторых разделов математики,
чем формулировки и доказательства десятков
теорем.
Содержание
1
Линейные системы 5
1.1
Гармонический осциллятор . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 5
1.1.1
Сведение к уравнению первого порядка . .
. . . . . 5
1.1.2
Анализ эквивалентности уравнений (1) и (2)
. . . . . 6
1.1.3
Фазовый портрет . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 7
1.1.4
Решение уравнения (2) . . . . . . . . .
. . . . . . . . 8
1.2
Гармонический осциллятор с отталкивающей
силой . . . . 10
1.3
Вынужденные колебания. Резонанс. Малые знаменатели
. . 12
1.4
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 13
2
Уравнение Штурма-Лиувилля с периодическим
коэффициентом 14
2.1
Свойства уравнений с периодическими коэффициентами
. . 14
2.2
Функция Блоха и параметрический резонанс
. . . . . . . . 15
2.3
Пример . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 16
2.4
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 18
3
Математический маятник 19
3.1
Вывод уравнения математического маятника
. . . . . . . . 19
3.2
Фазовые траектории . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 19
3.3
Явная формула для решения и период колебаний
. . . . . . 21
3.4
Колебания малой амплитуды . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 23
3.5
Сепаратрисное решение . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 24
3.6
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 24
4
Эллиптические функции 25
4.1
Решение уравнения математического маятника
и функция синус амплитуды
4.2
Эллиптические функции Якоби . . . . . .
. . . . . . . . . . 26
4.3
Свойства Функций Якоби . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 27
4.3.1
Область значений . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 27
4.3.2
Область определения . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 27
4.3.3
Свойства четности . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 27
4.3.4
Монотонность . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 28
4.3.5
Сдвиг . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 28
4.3.6
Периодичность . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 29
4.4
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 31
5
Аппроксимация функций Якоби 32
5.1
Разложение в окрестности нуля аргумента
. . . . . . . . . . 32
5.2
Разложение в окрестности нулевого значения
параметра . . 32
5.3
Разложение в окрестности k = 1 . . . . .
. . . . . . . . . . . 33
5.4
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 34
6
Устойчивость решений нелинейных уравнений
35
6.1
Положения равновесия . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 35
6.2
Устойчивость по линейному приближению .
. . . . . . . . . 36
6.3
Периодические решения консервативных систем
и орби тальная устойчивость
6.4
Линеаризованное в окрестности периодического
решения
уравнение
математического маятника . . . . . . . .
. . . . 38
6.5
Неустойчивость сепаратрисного решения .
. . . . . . . . . . 41
6.6
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 42
7
Элементы теории бифуркаций 44
7.1
Локальный анализ неограниченного движения
. . . . . . . 44
7.2
Окрестность точки равновесия . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
7.3
Бифуркация седло-центр . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 46
7.4
Бифуркация удвоения . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 47
7.5
Нелокальные бифуркации . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 49
8
Принцип наименьшего действия 52
8.1
Генезис уравнений механики . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 52
8.2
Функция Лагранжа . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 53
8.3
Функция Гамильтона . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 54
8.4
Общий вид уравнений для консервативной системы
. . . . 55
8.5
Фазовый поток и теорема Лиувилля . . . .
. . . . . . . . . 57
8.6
Терема Пуанкаре о возвращении . . . . .
. . . . . . . . . . . 58
9
Примеры вполне интегрируемых систем 60
9.1
Задача Кеплера . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 60
9.1.1
Инвариантное многообразие в задаче Кеплера
. . . . 62
9.2
Волчок Эйлера . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 64
9.3
Волчок Ковалевской . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 65
9.4
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 67
10
Теорема Лиувилля об интегрируемых системах
68
10.1
Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 68
10.2
Коммутирующие фазовые потоки . . . . . .
. . . . . . . . . 70
10.3
Переменные действие-угол . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 70
10.4
Теорема Лиувилля об интегрируемых системах
. . . . . . . 72
10.5
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 73
11
Почти интегрируемые системы 74
11.1
Прямое разложение теории возмущений . .
. . . . . . . . . 74
11.2
Аналитическая зависимость от параметра .
. . . . . . . . . 75
11.3
Ограниченная пригодность прямого разложения
теории возмущений, секулярные члены
11.4
Основная задача механики. . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 78
11.5
Адиабатические инварианты . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 78
11.6
Резонансные множества . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 79
11.7
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 80
12
Метод малого параметра 81
12.1
Периодическое решение осциллятора Дуффинга
с малой амплитудой . 81
12.2
Вынужденные нерезонансные колебания . .
. . . . . . . . . 84
12.3
Резонансные колебания уравнения Дуффинга
. . . . . . . . 84
12.4
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 87
13
Метод малого параметра для решения с конечной
амплитудой 88
13.1
Периодическое решение уравнения Дуффинга
. . . . . . . . 88
13.2
Условие периодичности решения уравнения
для первой поправки. . . 89
13.3
Разложение по дробным степеням малого параметра
. . . . 90
13.4
Литература . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 92
|
