8. Функции многих переменных
8.1 Точки, области и
функции в n-мерном
пространстве
Точкой x в n-мерном пространстве называется упорядоченное
множество из n чисел  , которые называются координатами точки x:
 .
Пусть даны две
точки и  . Величина
называется эвклидовым расстоянием между точками x и y.
Расстояние обладает следующими свойствами:
1.  при этом  (то есть   ).
2.  .
3. Неравенство треугольника:
 .
Областью
в n-мерном пространстве называется любое множество точек из
этого пространства.
Пусть в n-мерном
пространстве задана некоторая область G. Правило которое каждой
точке области G с координатами  ставит в соответствие
некоторое число z
называется функцией и обозначается символом  или  .
Множество точек x, где это
правило имеет смысл, называется областью
определения функции. Множество чисел z называется областью
значений функции.
Пусть  , а переменные  в свою очередь
являются функциями m-мерных  :
 .
Подставим в  вместо эти функции. Тогда
мы получим сложную функцию или суперпозицию функций
 .
8.2 Предел
функции n
переменных
Определение.
Число А называют пределом функции f (x) при  ( ), если
 ,
или
 .
Оба эти
определения эквивалентны.
Кроме этого понятия предела, которое
обобщает понятие предела для функции одного переменного, для функций многих
переменных существует и еще одно специфическое понятие, которого не было для
функций одного переменного – так называемые повторные пределы. Опишем его на примере функции двух переменных  .
Пусть задана функция  двух переменных
x и y. Пусть
точка  стремится к
точке с координатами  . Тогда то понятие предела, которое дано выше,
называется двойным пределом и обозначается так:  .
Будем теперь подходить к точке двумя путями
(см. рис. 8.1). Первый выглядит так: сначала из точки перейдем в
точку  , двигаясь параллельно оси OY, а затем
из этой точки перейдем в точку , двигаясь параллельно оси OX. В
применении к функции это означает,
что мы сначала перешли к пределу  , получив некоторую функцию  , а затем уже нашли  , получив так называемый повторный предел
 .
|
|
|
|
Рис. 8.1 Пути приближения к точке (a, b) при построении понятия повторного
предела
|
Теперь пойдем от точки к точке по такой
траектории: сначала перейдем в точку  , двигаясь параллельно оси OX. Тем
самым мы найдем  , который будет функцией от y. Затем из
точки , двигаясь параллельно оси OY,
перейдем в точку , вычисляя теперь уже  . Тем самым мы получим другой повторный предел
 .
Таким образом, кроме двойного предела имеются еще два
повторных предела и .
Встает вопрос о том, какова связь между
этими величинами. Ответ на этот вопрос
дает следующая теорема.
Теорема. Если
1. существует двойной предел ;
2. "y существует ,
то существует и
повторный предел и он равен
двойному пределу
= .
Следствие.
Если к ограничениям теоремы добавить еще, что
3. "x
существует ,
то существуют
оба повторных предела, равные друг другу и равные двойному пределу:
= = .
Через понятие предела обычным образом
вводится понятие непрерывности функции n переменных:
функция  называется
непрерывной в точке а, если  . Все свойства непрерывных функций сохраняются и в
случае функции n переменных.
8.3 Частные
производные. Градиент
Пусть имеется функция n переменных  . Изменим значение i-ой переменной с на  . Величина
называется частным приращением функции по i-ой переменной.
Величина
называется частной производной от функции по переменной и обозначается
символом  или символом  .
Отметим главное: при вычислении частной
производной по какой-то переменной меняется только эта переменная, и все остальные переменные выступают как
константы.
Вектор
с компонентами
называется градиентом функции и обозначается
символом  .
8.4 Полное
приращение и дифференциал функции
Изменим
теперь все переменные, заменяя на ,  . Величина
называется полным приращением функции .
Определение.
Функция называется дифференцируемой в точке x, если ее полное
приращение можно представить в виде
 .
Комбинация
называется дифференциалом функции и обозначается
символом  .
Теорема
1. Если дифференцируема в точке x, то в
этой точке у нее существуют все частные производные и  .
Теорема
2. Если частные производные существуют не
только в точке  , но и в некоторой ее окрестности и они непрерывны в точке x, то дифференцируема
в точке x.
Можно показать, что приращение
независимой переменной  равно ее
дифференциалу, то есть  . Поэтому окончательное выражение для дифференциала
функции приобретает вид
 ,
где  .
8.5 Производные
от сложной функции
Пусть
, а переменные в свою очередь
являются функциями m-мерных то есть . Мы имеем, таким образом, дело со сложной функцией
и z является, в конечном счете, функцией от .
Будем считать, что все частные
производные и  , существуют и
непрерывны. Тогда имеет место формула
 ,
которая дает
возможность вычислять производные от сложной функции.
8.6 Производная
по направлению
Пусть
задана функция , зависящая от n-мерной переменной  , и пусть в нашем n-мерном пространстве
задан вектор  единичной
длины, то есть  .
|
|
|
|
Рис. 8.2 К определению производной
по направлению
|
Рис. 8.3. Связь производной по
направлению с градиентом функции
|
Представим себе, что из точки x, двигаясь по вектору a, (или в противоположном
направлении) мы перешли в точку  (см. рис. 8.2).
При этом мы сместились на расстояние  . Тогда производной
от f(x) по направлению вектора a называется величина
 ,
в которой знак
«+» берется в том случае, если мы двигались по направлению вектора а,
а знак «–» - если мы двигались против вектора
 .
Явное выражение для производной по
направлению имеет вид
 .
Численно,
производная от функции f(x) по
какому-то направлению равна проекции градиента функции на это направление (см.
рис. 8.3).
8.7 Производные
от неявных функций
Если
явно функция одной переменной x задается выражением  , то ее неявное задание имеет вид уравнения  , не разрешенного относительно y.
Аналогично, если y зависит от  , то неявное задание этой функции имеет вид уравнения  , не разрешенного относительно y.
В общем случае можно сразу задавать m функций  в виде системы
из m уравнений вида
Выпишем формулы для вычисления
производных от функций, заданных неявно.
1. Одна
функция от одной переменной:
 .
2. Одна
функция от n переменных:
 .
3. m функций от n переменных.
В этом случае производные по, скажем, переменной  находятся из системы
линейных алгебраических уравнений:
8.8 Производные
высших порядков
Представим себе, что нам задана,
скажем, функция f(x, y, z) от трех переменных x, y, z. Мы можем
вычислить частные производные от этой функции по аргументам x, y, z:
 .
Но эти производные сами являются
функциями от тех же переменных x, y, z. Поэтому от них снова можно вычислять производные по тем же
аргументам, которые уже будут называться производными второго порядка
 , 
и так далее.
Кроме этих производных есть еще так
называемые смешанные производные.
Это – производные вида
 , 
и так далее. От
этих вторых производных можно снова вычислять производные, которые будут
называться производными третьего порядка и так далее.
Основная теорема, касающаяся смешанных
производных, звучит так:
Теорема.
Пусть у функции  существуют все
смешанные производные до k-го порядка
включительно, и они непрерывны.
Тогда значения всех производных до k-го порядка включительно не зависят от того, в каком порядке
производится их вычисление.
Эта теорема устанавливает форму записи
для смешанных производных. Пусть у функции дифференцирование по производится  раз,
, так что  . Тогда соответствующая производная записывается в
виде
 .
8.9 Безусловный
экстремум функции многих переменных
Рассмотрим вопрос о нахождении
экстремума функции многих переменных
.
Определение.
Говорят, что в точке  функция имеет локальный максимум (минимум), если
 .
Термины
«локальный максимум» и «локальный минимум» объединяют в один термин «локальный
экстремум».
Необходимые
условия экстремума.
Необходимые
условия экстремума дает теорема Ферма. В применении к нашему случаю, они имеют
такой вид: если в точке функция имеет локальный
максимум (минимум), то в ней выполняется условие
 ,
или, сокращенно,
 .
Достаточные
условия экстремума.
Выполнение написанных выше условий не
гарантирует, что в точке функция имеет локальный
экстремум; кроме того, даже если там имеет место локальный экстремум, то надо
установить его тип – максимум или минимум. Ответ на этот вопрос выглядит
следующим образом.
Надо построить матрицу А
размерности n´n c элементами
 ,
и, используя
критерий Сильвестра, установить, какая она – положительно определенная,
отрицательно определенная или неопределенная (что такое положительно
определенная, отрицательно определенная или неопределенная матрица и критерий
Сильвестра Вы должны знать из курса алгебры). Тогда
если матрица А положительно
определенная, то в точке функция имеет локальный
минимум;
если матрица А отрицательно определенная, то в точке функция имеет локальный
максимум;
если матрица А неопределенная, то в точке функция не имеет локального
экстремума (это – так называемая седловая точка).
8.10 Условный
экстремум. Метод Лагранжа
Задача
на условный экстремум функции многих переменных формулируется так: найти
максимум или минимум функции
при ограничениях
вида
Заметьте, что
число ограничений m должно
быть меньше числа переменных n.
Подобные задачи принято решать так
называемым методом неопределенных множителей Лагранжа, который дает лишь
необходимые условия экстремума. Формально он выглядит следующим образом:
1. Составляется так называемая функция Лагранжа
 .
Появившиеся
здесь сомножители  называются
неопределенными множителями Лагранжа.
2. Система уравнений, определяющая
возможные точки экстремума, выглядит так
или, в явном
виде,
В этой системе  уравнений,
переменных тоже - это  . Решая эту систему, мы найдем все эти величины.
Значения можно потом
спокойно выбросить, а что творится в получившейся точке – локальный максимум,
локальный минимум или седловая точка – выясняйте, как хотите, это – Ваши
проблемы.
|
