6. Несобственные
интегралы
6.1 Определение и
свойства несобственных интегралов первого рода
Пусть
.
Функция определена на ;
2.
интегрируема на
.
Предел вида
называется несобственным интегралом первого рода.
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что сходится или существует. Если это предел не существует
или бесконечен, то говорят, что расходится или не существует.
Аналогично,
,
.
Предел вида называется главным значением несобственного
интеграла и обозначается
так.
Свойства.
1. Если существует , то существует . При этом
.
2. Если существует , то .
3. Если существует , то существует .
4. Если существуют и , то существует
.
6.2 Несобственные
интегралы первого рода от неотрицательных функций
В этом разделе всюду предполагается,
что и .
Теорема
1. Если , то
1. если , то ;
2. если , то .
Теорема
2. Если существует
,
то интегралы и сходятся или расходятся
одновременно.
Практический
признак сходимости.
Пусть
при существует . Тогда
если , то сходится;
если , то расходится.
6.3 Несобственные
интегралы первого рода от функций произвольного знака
В
данном разделе функции и могут иметь
произвольный знак.
Теорема.
Если существует , то существует и .
Определение.
Если существует , то интеграл называется абсолютно сходящимся.
Если существует , но , то интеграл называется неабсолютно сходящимся.
Признак
Дирихле. Пусть
1. интегрируема в
любом , причем
;
2. При .
Тогда сходится.
Следствие.
Если при , то существуют и (последний – при
).
6.4 Несобственные
интегралы второго рода
Определение.
Точка с называется особой точкой функции f(x), если или этот предел
не существует. Ниже рассматривается лишь первый случай.
Пусть b есть
особая точка функции f(x) и для
любого эта функция
интегрируема на отрезке . Тогда предел
называется несобственным интегралом второго рода. Если
этот предел существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится или
существует, если же этот предел равен бесконечности, то интеграл расходится,
или не существует.
Аналогично, если особой точкой является
а, то несобственный интеграл второго
рода определяется так
.
Наконец, если особая точка c удовлетворяет условию a<c<b, то интеграл определяется так
.
Заметьте, что и разные. Если взять их одинаковыми, то
получающийся предел
называется главным значением несобственного
интеграла второго рода.
6.5 Признаки
существования несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций
В этом разделе всюду предполагается,
что и .
Теорема
1. Если , то
1. если , то;
2. если , то .
Теорема
2. Пусть b есть
особая точка функции f(x). Если
при x®b существует предел
,
то интегралы и сходятся или
расходятся одновременно.
Практический
признак сходимости.
Пусть b есть особая точка функции f(x). Если при x®b существует предел
,
то при интеграл сходится;
при интеграл расходится.
Если особой точкой является точка а, то предел принимает вид
.
|