Пределы и производные - практикум

Пределы функций

         Для определения пределов последовательностей и функций используются некоторые известные приемы:

1.     Если необходимо найти предел

,

можно предварительно привести к общему знаменателю

.

Поделив на член, имеющий максимальную степень, получим в числителе постоянную величину, а в знаменателе – все члены, стремящиеся к 0,то есть

.

2.     Аналогично, для примера

3.        в этом пределе, если подставить x=a, то получится неопределенность, которую можно преодолеть, если разложить разность кубов в знаменателе , а числитель в виде: .

Тогда   и подставив x=a, получим: ;

4.  , при подстановке х=0, получим .

5.   Однако, если необходимо найти предел рациональной функции

, то при делении на член с минимальной степенью, получим

; и, устремив х к 0, получим:

Если в пределах содержатся иррациональные выражения, то приходится вводить новые переменные для получения рационального выражения, или же переводить иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот.

6.  ;  Сделаем замену переменной. Заменим ,  при , получим .

7.  . Если числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, то предел не изменится. Умножим числитель на  и разделим на это же выражение, чтобы предел не изменился, а знаменатель умножим на  и разделим, на это же выражение. Тогда получим:

Для определения пределов часто используются замечательные пределы:

;                                                                          (1)

.                                                (2)

8. .

Для вычисления такого предела сведем его к 1-му замечательному пределу (1). Для этого умножим и разделим числитель на , а знаменатель на , тогда .

9.   Для вычисления этого предела сведем его ко второму замечательному пределу. С этой целью из рационального выражения в скобках выделим целую часть и представим ее в виде правильной дроби. Так поступают в тех случаях, когда , где , а , где ;

  , а  , то окончательно . Здесь использовалась непрерывность композиции непрерывных функций.

Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя

         Все вышеперечисленные пределы не использовали аппарат дифференциального исчисления. Однако, если необходимо найти

  и при   обе эти функции бесконечно малые или обе бесконечно большие, то их отношение не определено в точке  и, следовательно, представляет собой неопределенность типа  или  соответственно. Поскольку это отношение в точке  может иметь предел, конечный или бесконечный, то нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности (правило Лопиталя Бернули),

и имеет место следующее равенство:

         , если  и  .

1.     (здесь имеет место неопределенность типа )=

=.

Аналогичное правило имеет место, если  и , т.е. .

2.     (неопределенность типа )

=

         =.

         Правило Лопиталя позволяет также раскрывать неопределенности типа  и . Для вычисления , где - бесконечно малая, а - бесконечно большая при (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать произведение к виду

 (неопределенность типа ) или к виду (неопределенность типа ) и далее использовать правило Лапиталя.

3.

         Для вычисления , где  и - бесконечно большие при  (раскрытие неопределенности типа ) следует преобразовать разность к виду , затем раскрыть неопределенность   типа . Если , то .

Если же , то получается неопределенность типа (), которая раскрывается аналогично примеру 12).

4.  .

Так как , то получим в итоге неопределенность типа  и далее имеем

.

Правилом Лопиталя можно пользоваться также для раскрытия неопределенностей типа . В этих случаях имеется в виду вычисление предела выражения , где  в случае есть бесконечно малая, в случае - бесконечно большая, а в случае - функция, предел которой равен единице.

Функция в первых двух случаях является бесконечно малой, а в последнем случае – бесконечно большой функцией.

         Прежде чем искать предел таких выражений, их логарифмируют, т.е. если , то , затем находят предел , и после чего находят предел . Во всех перечисленных случаях   является неопределенностью типа , которую раскрывают аналогично примеру 12).

5.

     (воспользуемся правилом Лопиталя)=

      =.

         В этом произведении пределов первый равен 1, второй сомножитель представляет собой первый замечательный предел и он тоже равен 1, а последний сомножитель стремится к 0, следовательно:

  и тогда  .

6.

            =;

       .

7. ;

       =;

       .    

8.  ;

      =;

      .