Производная
Производной от функции  называется конечный
предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее
стремится к нулю:
 ,
или  .
Геометрически производная
представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х, то есть  .
Производная
есть скорость изменения функции в точке х.
Отыскание производной называется дифференцированием
функции.
Формулы
дифференцирования основных функций:
3. Основные правила дифференцирования
Пусть
 , тогда:
7) Если  , то есть
 , где  и  имеют производные, то  (правило
дифференцирования сложной функции).
Примеры:
4. Логарифмическое дифференцирование
Если требуется найти  из уравнения  , то можно:
а) логарифмировать обе части уравнения
 ;
б) дифференцировать обе части полученного равенства,
где  есть сложная функция от х,
 .
в)
заменить  его выражением через х
 .
Пример: 
5. Дифференцирование неявных функций
Пусть уравнение  определяет как неявную функцию от
х.
а)
продифференцируем по х обе части уравнения , получим уравнение первой степени относительно ;
б) из полученного уравнения выразим .
Пример: .
6. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Пусть функция задана
параметрическими уравнениями  ,
тогда
 , или 
Приме:
7. Приложение производной к задачам
геометрии и механики
Пусть и  , где  -угол, образованный с положительным направлением оси ОХ
касательной к кривой в точке с абсциссой  .
Уравнение касательной к кривой в точке  имеет вид:
 , где  -производная при  .
Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная
касательной и проходящая через точку касания.
Уравнение
нормали имеет вид
 .
Угол между двумя кривыми и  в точке их пересечения
называется угол между касательными к этим кривым в точке  . Этот угол находится по формуле
 .
8. Производные высших порядков
Если есть производная от
функции , то производная от называется второй
производной, или производной второго порядка и обозначается  , или  , или  .
Аналогично определяются производные любого
порядка:производная третьего порядка  ; производная n-го порядка:
 .
Для произведения двух функций можно получить
производную любого n-го порядка, пользуясь формулой Лейбница:
Пример:
1)
9. Вторая производная от неявной функции
-уравнение
определяет , как неявную функцию от х.
а)
определим  ;
б) продифференцируем по х левую и правую части
равенства ,
причем, дифференцируя функцию  по переменной х, помним, что  есть функция от х:
 ;
в)
заменяя  через  , получим:  и т.д.
Пример:
10. Производные от функций, заданных
параметрически
Пример:
Найти
 если  .
11. Дифференциалы первого и высших порядков
Дифференциалом первого порядка функции называется главная, линейная относительно аргумента часть .
Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: .
Дифференциал функции равен произведению ее
производной на дифференциал аргумента:
 .
Основные
свойства дифференциала:
 где
 .
Если приращение  аргумента мало по абсолютной величине, то  и  .
Таким образом, дифференциал функции может применяться для
приближенных вычислений.
Дифференциалом
второго порядка функции называется
дифференциал от дифференциала первого порядка:  .
Аналогично:
 .
 .
Если и  - независимая переменная, то дифференциалы высших порядков
вычисляются по формулам
 .
Пример.
Найти дифференциалы первого и второго порядков функции
|
