14. Криволинейный интеграл 1-го
рода.
Мы рассмотрим в основном криволинейные интегралы по
плоским кривым. В
дальнейшем под кривой будем понимать кусочно-гладкую кривую.
Пусть L = АВ - незамкнутая кривая в плоскости хОу с концевыми точками А, В; z=f (x,y) - функция,
определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками
А0=А, А1, А2, . . . , Аn=В
на
дуги d1= А0А1, d2= А1А2,
. . . , dn= Аn-1Аn.
На
дуге di выберем произвольную точку Мi (ti
, si) (i = 1,2, . . . , n) (рис.
13). Обозначим Dli длину дуги di , а .
Составим интегральную
сумму функции f (x,y) по кривой L
Рисунок 13
|
Определение. Предел , если он существует,
называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции f (x,y)
по кривой L и обозначается
(20)
В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на
кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 1-го рода определяется аналогично случаю
незамкнутой кривой.
Теорема
(достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x,y)
непрерывна на кривой L за
исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 1-го рода
(20) существует.
Некоторые
свойства криволинейного интеграла 1-го рода. Для криволинейных интегралов
1-го рода выполняются свойства линейности
и аддитивности (см. аналогичные
свойства для тройного интеграла в п. 10).
1) ½L½=, где ½L½- длина кривой L.
2) Криволинейный интеграл 1-го
рода (20) не зависит от ориентации кривой L. Это
значит, что интеграл не зависит от того, какая из концевых точек А и В
является начальной точкой кривой.
Физический
смысл криволинейного интеграла 1-го рода. Пусть
L - кривая
с линейной плотностью массы m (х, у). Тогда масса кривой
равна
(21)
Замечание. Криволинейный интеграл 1-го рода аналогично определяется и для пространственной
кривой.
15. Вычисление криволинейного
интеграла 1-го рода.
Пусть кривая L задана
параметрическими уравнениями
x = j (t), y=y (t), a ? t ?b,
где
j (t), y (t) - непрерывно
дифференцируемые на отрезке [a, b ] функции. Тогда
.
(22)
Пусть кривая L задана явно уравнением
y=g (x), a? x ?b,
где
g (x) - непрерывно дифференцируемая
на [a, b]
функция. Тогда
. (23)
Рисунок 14
|
Примеры.
12) Вычислить интеграл , где L- часть окружности x2 + y2
= 4, расположенная в первой четверти
координатной плоскости.
Решение. Параметрическое уравнение данной кривой L имеет
вид x = 2cost , y=2sint, 0 ? t ?p/2. Положив
применим формулу
(22). Сначала
вычислим
=
Далее
.
Теперь
по формуле (22) имеем
13) Вычислить массу части
параболы y2 =4х от точки О(0, 0) до точки А(4, 4), если ее линейная плотность
равна m (х, у)
= у.
Решение. Кривая ОА
приведена на рис.15. Положим
Рисунок 15
|
По
формуле (23) имеем
16. Криволинейный интеграл 2-го
рода.
Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом
в точке В; z=f (x,y) - функция,
определенная на кривой L. Разобьем кривую L последовательными точками
А0=А, А1, А2, . . . , Аn=В
на
дуги d1= А0А1, d2= А1А2,
. . . , dn= Аn-1Аn и на дуге di выберем произвольную точку Мi(ti
, si) (i =
1, 2, . . . , n) (рис. 16). Обозначим Dxi = xi - xi-1 , Dyi = yi - yi-1, а d -наибольшую из длин дуг di (i = 1,2, . . . , n).
Составим интегральную
сумму функции f (x,y) по кривой L
относительно х
Определение. Предел , если он существует,
называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции f (x,y)
по кривой L относительно х и обозначается
Рисунок 16
|
(24)
В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на
кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 2-го рода определяется аналогично случаю
незамкнутой кривой.
Теорема
(достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x,y)
непрерывна на кривой L за
исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 2-го рода
(24) существует.
Некоторые
свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Для криволинейных интегралов 2-го рода
выполняются свойства линейности и аддитивности (см. аналогичные свойства
для тройного интеграла в п. 10).
Свойство антиориентированности
.
Это
свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все
приращения Dxi и, следовательно, интегральная сумма Sx изменяют знак.
Аналогично определяется криволинейный интеграл 2-го
рода от функции g(x,y) по кривой L
относительно у
,
где .
Пусть на ориентированной
кривой L определены две функции f (x, y)
и g (x,
y). Тогда сумма интегралов (24)
и (25)
называется общим криволинейным интегралом
2-го рода от функций f (x,y) и g (x,y) по кривой L и обозначается
(26)
Физический
смысл криволинейного интеграла 2-го рода. Пусть
- сила, действующая на материальной точку М(x, y) ориентированной кривой L. Тогда работа, совершаемая
силой
при перемещении точки М вдоль ориентированной кривой L, равна
(27)
Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для пространственной
ориентированной кривой.
Площадь
плоской фигуры. Пусть простая замкнутая кривая L ориентирована “против часовой стрелки”, D - область, ограниченная кривой L. Тогда
площадь области D равна
(28)
17. Вычисление криволинейного
интеграла 2-го рода.
Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими
уравнениями
x = j (t), y=y (t), a ? t ?b,
где
j (t), y (t) - непрерывно
дифференцируемые на отрезке [a, b ] функции. Тогда
. (29)
Пределы
интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L: если
ориентации кривой L соответствует изменение параметра t от a до
b, то в формуле (29) выбирается
первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (29) нужно
выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.
Пусть кривая L задана явно уравнением y=h(x),
a? x ?b, где h (x) - непрерывно
дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда
. (30)
Пределы
интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, как в формуле (29).
Пусть кривая L задана явно уравнением x=h(y),
a? y ?b, где h (y) - непрерывно
дифференцируемая на отрезке [a, b] функция. Тогда
. (31)
Пределы
интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L, как в формуле (29).
Примеры. 14) Вычислить работу силы , приложенной к точке М(x, y) при перемещении точки вдоль
кривой x =
2cost , y=2sint, 0 ? t ?p/2 от
точки (0, 2) до точки (2, 0).
Решение. Данная кривая - это дуга ВА
из рис. 14. По формуле (27) искомая работа равна
Положим и применим
формулу (29). При этом учтем, что при движении по кривой от точки В до точки А параметр t изменяется от p/2 до 0.
15)
Вычислить , где кривая ОА дана на рис. 15.
Решение. Кривая ОА задается уравнением Положив ,
применим формулу (29), при этом учтем тот факт, что
при движении по кривой от точки О до А переменная x меняется от 0 до 4.
16) Вычислить где L - замкнутая кривая ОВАО из рис. 15.
Решение. Кривая L состоит из линий ОВ, ВА и АО.
По свойству аддитивности
. (32)
Отрезок
ОВ задается уравнением у = 0 при 0 ? х ? 4. Значит, dy = 0.Тогда по формуле (30)
.
Отрезок
ВA задается уравнением х = 4
при 0 ? у ? 4. Тогда dх = 0 и
по формуле (31) имеем
.
Кривая
АО задается уравнением при изменении значения у от 4 до 0. Значит, и по формуле (31) получаем
.
Подставив вычисленные интегралы в
(32), получаем
Замечание. По
формуле (28) видно, что вычисленный интеграл равен удвоенной площади области,
ограниченной контуром ОВАО.
|