|
Будем считать все рассматриваемые кривые
кусочно-гладкими, ограниченные области в R2 - квадрируемыми, ограниченные
области в R3 - кубируемыми. Квадрируемыми
(кубируемыми) множествами называются множества, имеющие площади (соответственно
объемы).
1. Двойной интеграл. Пусть функция z = f(x,y) определена в ограниченной
замкнутой области D плоскости R2. Разобьём область D произвольным образом на n элементарных замкнутых областей s1, … ,sn, имеющих площади Ds1, …, Dsn и диаметры d1 , …, dn соответственно. Обозначим d наибольший из диаметров
областей s1, … ,sn . Диаметром замкнутой ограниченной области
называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой
области. В каждой области sk выберем произвольную точку Pk (xk ,yk) и составим интегральную сумму функции f(x,y)
S =  (рис. 1).
|
Рисунок 1
|
Определение. Двойным интегралом функции f(x,y)
по области D называется предел интегральной
суммы
 ,
если он существует.
Двойной интеграл обозначается
 (1)
Замечание. Интегральная сумма S зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pk
(k=1, …, n). Однако, предел  , если он существует, не зависит от способа разбиения области
D и выбора точек Pk .
2. Достаточное условие существования двойного интеграла. Двойной интеграл (1)
существует, если функция f(x,y)
непрерывна в D за исключением конечного числа кусочно-гладких
кривых и ограничена в D.
В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые двойные интегралы
существуют.
3. Геометрический смысл двойного
интеграла. Если f(x,y) ?0 в области D, то двойной интеграл (1) равен объему “цилиндрического” тела, изображенного
на рис.1:
V = (2)
Пояснение.
Цилиндрическое
тело ограничено снизу областью D,
сверху - частью поверхности z=f(x,y), с боков - вертикальными отрезками прямых, соединяющих
границы этой поверхности и области D.
4. Некоторые свойства двойного интеграла.
1)
Линейность. Если С – числовая константа, то
 ,
 .
2) Аддитивность. Если область D “разбита” на
области D1 и D2,
то
 .
3)
Площадь ограниченной области D равна
(3)
5. Вычисление двойного интеграла. Пусть
область
|
Рисунок 2
|
D = {(x, y): a ? x ? b, ?1(x)
? y? ?2(x)} . (4)
Область D заключена в полосе между прямыми x = a, y =
b, снизу и сверху ограничена соответственно кривыми y = ?1(x) и y = ?2(x)
(рис.
2а).
Двойной интеграл (1) по
области D
(4) вычисляется переходом к повторному интегралу:
 (5)
Этот повторный интеграл вычисляется следующим
образом. Сначала вычисляется внутренний интеграл
по переменной y, при этом x считается постоянной. В результате
получится функция от переменной x, а затем вычисляется “внешний” интеграл
от этой функции по переменной x.
Замечание. Процесс перехода к
повторному интегралу по формуле (5) часто называют расстановкой пределов
интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов интегрирования
нужно помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не должен
превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть константами,
а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внешнего
интеграла.
Пусть
теперь область D имеет вид (рис. 2б)
D = { (x, y) : c ? y ? d,
?1(y)
? x ? ?2(y) }
.
(6)
Тогда
 (7)
Предположим,
что область D можно представить в
виде (4) и (6) одновременно. Тогда имеет место равенство
 (8)
Переход од одного повторного интеграла к другому в
равенстве (8) называется изменением
порядка интегрирования в двойном интеграле.
|
Рисунок 5
|
Примеры.
1) Изменить
порядок интегрирования в интеграле
Решение.
По виду повторного интеграла находим область
D = {(x, y): 0 ? x ? 1, 2x ? y? 2} .
Изобразим
область D (рис. 3). По рисунку видим,
что эта область расположена в горизонтальной полосе между прямыми y=0, y=2 и между линиями x = 0, x = y / 2. Это
значит, что
D = {(x, y): 0 ? y
? 2, 0 ? x? y/2} .
Тогда по формуле (8) получаем
2)Вычислить интеграл
где D - область из примера 1.
Решение.
Расставим пределы интегрирования в интеграле подобно примеру 1:
Вычислим внутренний интеграл по переменной y, считая x константой:
Теперь вычислим внешний интеграл по x:
|
