Теорема. Кольцо является телом тогда и только тогда, когда оно содержит не менее двух элементов и оба уравнения ax = b и xa = b, разрешимы для любых элементов a, bО  A, где a ╧  0.

Тело служит обобщением системы (Q, + , Ч ) рациональных чисел, однако требование коммутативности умножения опускается.

Теорема Веддербёрна. Всякое конечное тело коммутативно.

Квазитело есть такая система (A, + , Ч ), что система (A, +) является абелевой группой, а система (A, Ч ) - квазигруппоёOс единичным элементом (т.е. лупой), причем имеет место левая дистрибутивность, т.е. для любых трех элементов a, b, c О  A выполняется равенство a (b + c) = (a b) +  (a c). Если имеет место также и правая дистрибутивность, то квазитело называется дистрибутивным.

Если операция Ч ассоциативна, то квазитело называется ассоциативным.

Альтернативное квазитело - это дистрибутивное квазитело, для которого выполняются следующие условия:

a  (a╒ x) = x , если a ╧  0 и aa╒  = 1;

(x a╒ )a╒╒ = x , если a╒ ╒╧  0 и a╒ a╒ ╒= 1.

Теорема. Дистрибутивное и ассоциативное квазитело является телом.

Иерархия систем с двумя бинарными операциями изображена на рисунке. Обозначения: G - кольцо, Q - квазиполе, D - дистрибутивное квазиполе, A - ассоциативное квазиполе, T - тело, K - коммутативное тело.
 
 

Весьма важны для многих разделов алгебры кольца многочленов над произвольным полем и кольца матриц над телами, определяемые аналогично кольцам примеров 7 и 9. Многие классы колец находят приложения и вне алгебры. Важнейшими из них являются кольца функций и кольца операторов, сыгравшие большую роль в развитии функционального анализа.

Пусть F - произвольное ассоциативное кольцо с единицей. Кольцо A (не обязательно ассоциативное) называется алгеброй над F или операторным кольцом с кольцом операторов F , если определено произведение любого элемента из F на элемент из A, лежащее в A, причем так, что для всех a, b  О F , a, bОA  справедливы соотношения
 
 

А если кольцо F коммутативно, то принято требовать усиления последнего условия:
 
 

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение na (где n - целое число), как сумму n экземпляров элемента a: a + a +  . . . + a .

Если A - алгебра над полем (называемая также линейной алгеброй), то, по определению, A является векторным пространством над этим полем, а значит имеет базис. Это дает возможность строить алгебры над полем по базису, для чего достаточно задать таблицу умножения базисных элементов. Алгебра над полем называется конечномерной, если она конечномерна как векторное пространство. Размерность этого векторного пространства называется над рангом алгебры. Например, поле C комплексных чисел есть алгебра ранга 2 над полем R действительных чисел, кватернионы образуют алгебру ранга 4 над полем R, полное кольцо матриц порядка n с элементами из поля F - алгебра ранга n² над F .

В теории колец важную роль играют понятия гомоморфизма и изоморфизма. Многие рассуждения и описания проводятся ╚с точностью до изоморфизма╩, т.е. изоморфные кольца и алгебры не различаются. Гомоморфизм - это такое отображение j кольца A в кольцо A ^', что для любых a, bО  A
 
 

т. е.  j перестановочно с кольцевыми операциями. Для алгебр (над одним и тем же F) требуют также, чтобы было (?a)? = ?(a?) ??я любого a О  F . Если при этом j  - биективное отображение (т.е. взаимно однозначное отображение на A^'), то оно называется изоморфизмом, а кольца (алгебры) A и A^' изоморфными.

Множество M элементов кольца (алгебры) A называется подкольцом (подалгеброй), если M само является кольцом (алгеброй) относительно операций, определенных в A; M называется левым (правым или двусторонним) идеалом, если, кроме того, для любых элементов m О  M и a О  A произведение am (соответственно, ma или как am, так и ma) лежит в M. Элементы a, b О  A называются сравнимыми по идеалу M, если b - a О  M. Всё A разбивается на классы сравнимых элементов - классы вычетов по идеалу. Таким образом, всякий идеал определяет на множестве A отношение эквивалентности, причем для двустороннего идеала это отношение - конгруэнция, и можно определить сложение и умножение (умножение на элемент поля) классов вычетов по двустороннему идеалу M через сложение и умножение элементов этих классов. Относительно этих операций классы вычетов образуют кольцо (алгебру), называемое факторкольцом (факторалгеброй) A/M. Имеет место теорема о гомоморфизмах: если каждому элементу из A поставить в соответствие содержащий его класс, то получается гомоморфизм A на A/M; обратно, если A гомоморфно отображается на A', то множество M элементов из A, отображающихся в нуль кольца (алгебры) A', будет двусторонним идеалом в A и A/M изоморфно A'. Кольцо без двусторонних идеалов называется простым.

Переход от алгебры к ее подалгебрам и факторалгебрам является одним из способов получения новых алгебр. Например, из алгебры многочленов от достаточно большого числа переменных над полем F (в качестве гомоморфного образа) может быть получена любая ассоциативно-коммутативная алгебра над полем F.

Поле - алгебраическое понятие, широко используемое во многих разделах математики. Поля составляют особый подкласс колец.

Поле может быть определено как множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции - сложение и умножение, обе ассоциативные и коммутативные, связанные между собой законом дистрибутивности, т.е. для любых a, b, c из поля справедливо:
 
 

Кроме того, в поле требуется существование нулевого элемента 0 (нуля), для которого 0 + a =  a , и для каждого элемента a противоположного элемента -a, то есть такого элемента, что a +  (-a ) =  0, а также существование единичного элемента e (единицы), для которого ae =  a, и для каждого ненулевого элемента a существование обратного элемента a^-1, т.е. такого элемента, что aa^-1 = e. Отсюда следует, что в поле выполнимы операция вычитания, а также операция деления на ненулевой элемент. Таким образом, все элементы поля образуют абелеву группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы - абелеву группу по умножению (мультипликативная группа поля).

Примерами полей (относительно естественных операций сложения и умножения) являются: множество всех рациональных чисел Q, множество всех действительных чисел R, множество всех комплексных чисел C, множество всех чисел вида a + b?2, где a и b - рациональные числа, множество всех алгебраических чисел, множество всех рациональных функций от одного или нескольких переменных с действительными коэффициентами (а также с коэффициентами из произвольного поля). Множество элементов поля может быть конечным. Такие поля называют полями Галуа. Простейшие примеры конечных полей - поля вычетов кольца по простому модулю.

Может оказаться, что в поле равно нулю целое кратное na какого-либо отличного от нуля элемента a. В этом случае существует такое простое число p, что p-кратное любого элемента этого поля равно нулю. Говорят, что в этом случае характеристика поля равна p (таковы поля вычетов по модулю p). Если же na╧  0 ни для каких ненулевых n и a, то характеристика поля считается равной нулю. В поле не может быть делителей нуля. Всякое поле является простым кольцом, т.е. не содержит ненулевых идеалов, не совпадающих с ним. Обратно, всякое ненулевое ассоциативно-коммутативное простое кольцо с единицей есть поле. Поле называется простым, если оно не содержит подполей, т.е. таких подмножеств, которые сами являются полями относительно тех же операций сложения и умножения. Если F - подполе в G, то G называют также надполем или расширением поля F. Всякое поле содержит единственное простое подполе. Все простые поля характеристики 0 исчерпываются полем рациональных чисел, а простые поля характеристики p - полем вычетов по модулюp.

Основные задачи теории поля - это описание всех подполей данного поля, всех расширений данного поля, классификация полей с точностью до изоморфизма и изучение групп автоморфизмов полей.

Один из способов обозрения всех полей - отправляясь от простого поля - получать описания всех полей, изучив структуру расширений. Расширение, которое порождается присоединением к F одного элемента, называется простым. Возможны простые расширения двух типов: а) простое трансцендентное расширение, которое получается, если за G взять поле всех рациональных функций одного переменного с коэффициентами из F, и б) простое алгебраическое расширение, которое получается, если к F добавить корень некоторого неприводимого над F многочлена f(x) и все те элементы, которые можно выразить через этот корень и элементы из F. Во втором случае каждый элемент получаемого надполя G является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из F. Расширения, обладающие этим свойством, называются алгебраическими, а все остальные - трансцендентными. Важный класс алгебраических расширений составляют конечные расширения, т.е. расширения, являющиеся конечномерными векторными пространствами над полем F. Любое расширение можно выполнить в два приема: сначала совершить чисто трансцендентное расширение (образовав поле рациональных функций, необязательно от одной переменной), а затем алгебраическое. Алгебраических расширений не имеют такие поля, в которых каждый многочлен разлагается на линейные множители (они называются алгебраически замкнутыми). Таково, например, поле C комплексных чисел (основная теорема алгебры). Любое поле содержится в некотором алгебраически замкнутом поле.

В теории чисел важную роль играет изучение конечных расширений полей Q, так называемых полей алгебраических чисел. Теория поля изучает также поля, несущие некоторые дополнительные структуры, например, нормированные поля, топологические поля, упорядоченные поля.

Решетка, структура, - частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Примеры решеток:

1) множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению;

2) всякое линейно упорядоченное множество; причем если a ? b, то sup{a,b} = b, inf{a,b} = a;

3) множество всех надпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где inf - пересечение, а sup - сумма соответствующих надпространств;

4) множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по делимости: a ? b, если b = ac для некоторого c. Здесь sup - наименьшее общее кратное, а inf - наибольший общий делитель данных чисел;

5) действительные функции, определенные на отрезке [ 0, 1] , упорядоченные условием f ё g, если f(t) ё g(t) для всех t О [ 0, 1]. Здесь
 
 

Решетка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются + и ∙ или И и З , а также Ъ и Щ ), удовлетворяющая следующим тождествам

(1) a +  a = a, (1╒ ) a ∙  a = a {идемпотемпотентность},

(2) a +  b = b +  a, (2╒ ) a ∙  b = b ∙  a {коммутативность},

(3) (a +  b) +  c = a +  (b +  c), (3╒ ) (a ∙  b) ∙  c = a ∙  (b ∙  c) {ассоциативность},

(4) a (a +  b) = a, (4╒ ) a +  a ∙  b = a  {поглощение}.

Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:
 
 

и обратно. При этом для любых элементов a и b эквивалентны следующие утверждения: (а) a ? b; (б) a b = a; (в) a +  b = b. Понятия изоморфизма решеток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают. Однако произвольное изотонное отображение решетки R в решетку R╒ не обязано быть гомоморфизмом этих решеток как универсальных алгебр.

Появление понятия ╚решетка╩ относится к середине 19 века. Четко его сформулировал Р. Дедекинд в работах 1894 и 1897 годов. Термин ╚lattice╩, переведенный как ╚структура╩, был введен Г. Биркгофом в 1933 году. В настоящее время в русской терминологии (из-за многозначности слова ╚структура╩) он вытеснен переводом ╚решетка╩. Исторически роль теории решеток объясняется тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов кольца и множества нормальных подгрупп группы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории дедекиндовых решеток. Как самостоятельное направление алгебры эта теория сформировалась в 30-х годах 20 века. Наиболее важные классы решеток, кроме дедекиндовых, - это полные решетки, дистрибутивные решетки и булевы алгебры.
 
 

Бинарное отношение R в множестве М, обладающее следующими свойствами:

• рефлексивности: ("aО M) ((a,a)ОR);
• антисимметричности: ("a,bО M) (((a,b)ОR) и (b,a)ОR)╚ a=b);
• транзитивности: ("a,b,cО M) (((a,b)ОR) и (b,c)ОR)(r) (a,c)ОR)

Бинарное отношение R в множестве М, обладающее следующими свойствами:

• антирефлексивности: ("aО M) ((a,a) ПR);
• антисимметричности: ("a,bО M) (((a,b)ОR) и (b,a)ОR)╚ a=b);
• транзитивности: ("a,b,cО M) (((a,b)ОR) и (b,c)ОR)(r) (a,c)ОR)

Бинарное отношение R в множестве М, обладающее следующими свойствами:

• рефлексивности: ("aО M) ((a,a)ОR);
• транзитивности: ("a,b,cО M) (((a,b)ОR) и (b,c)ОR)(r) (a,c)ОR)

 Теорема. Упорядоченное множество содержит не более одного наибольшего и не более одного наименьшего элемента.

Теорема Стоуна. Булева алгебра изоморфна алгебре Кантора.

A (r) х О A И (r) Ъ

З (r) Щ╬ (r) Ш