Кольцо - одно из основных понятий современной алгебры. В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами, над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории колец является изучение свойств обширного класса такого рода множеств.

Кольцом называется непустое множество R, для элементов которого определены две бинарные операции - сложение и умножение (обозначаемые + и Ч соответствнно; знак Ч обычно опусткается), причем предполагаются выполненными следующие аксиомы колец (a, b, c О R):

  1. Коммутативность сложения: a+ b = b + a.
  2. Ассоциативость сложения: a +  (b +  c) = (a + b) +  c.
  3. Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение a +  x = b имеет решение x = b -  a  О R.
  4.   Дистрибутивность умножения относительно сложения: a (b + c) = a b +  a c и (b + c) a = b a +  c a.
Кольцо является обобщением системы (Z, +, Ч ) целых чисел, однако в кольце условие a b =  ba  может нарушаться и равенство a b = 0 может иметь место и тогда, когда a  ╧  0 и  b  ╧  0.

Из свойств I - III ясно, что элементы кольца образуют абелеву группу относительно сложения: она называется аддитивной группой кольца. Нуль 0 этой группы относительно умножения является ╚поглощающим╩ элементом, т.е. a Ч 0 = 0Ч a = 0 для любого элемента a кольца. Кольцо, вообще говоря, может содержать и т.н. делители нуля, т.е. такие ненулевые элементы a и b, произведение которых равно 0. Единицей назывется токой элемент 1 кольца R, что a Ч  1 = 1Ч a = a для всех aО R. Кольцо не обязано обладать единицей, но если она есть, то только одна.

Примеры колец:

1) множество всех целых чисел;

2) множество всех четных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу m;

3) множество всех рациональных чисел;

4) множество всех действительных чисел;

5) множество всех комплексных чисел;

6) множество всех гауссовых чисел, т.е. комплексных чисел a +  bi  с целыми a  и b;

7) множество всех многочленов от одного или нескольких переменных с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами;

8) множество всех функций, непрерывных на данном отрезке чмсловой прямой;

9) множество всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами;

10) множество всех кватернионов;

11) множество всех чисел Кэли;

12) множество всех симметричных матриц порядка n с действительными элементами относительно сложения матриц и йорданова умножения a о b = ╫(ab + ba), где в правой части стоят обычные произведения матриц;

13) множество всех векторов трехмерного пространства относительно обычного сложения и векторного умножения.

 Во многих случаях на умножение в кольцах накладывают дополнительные ограничения. Так, если a(bc)=(ab)c, то кольцо называют ассоциативным (примеры 1 - 10); если в кольце выполняются равенства (aa)b = a(ab), (ab)b = a(bb), то он называется альтернативным (например, 11); если в кольце выполняются равенства ab = ba и (ab)(aa)=((aa)b)a, то то оно называется йордановым кольцом (например, 12); если в кольце выполняются равенства a2=0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0, то оно называется кольцом Ли (пример 13); если ab=ba, то кольцо называется коммутативным (примеры 1- 8, 12). Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности (примеры 1 - 7). Ассоциативное кольцо, в котором при a <> 0 разрешимы оба уравнения ax = b и xa = b, называется телом (примеры 3 - 5, 10); тело обладает единицей и не имеет делителей нуля. Коммутативное тело называется полем.
 
 


 


Предыдущий раздел  Оглавление    Следующий раздел