Можно составить следующую иерархию множеств с бинарной операцией (разумеется, вместо © может быть вставлена любая ≈ +, √, *, И , З , Е , Д , С , ° и т.д. и т.п. ≈ в зависимости от необходимости и вкуса автора.
Группоид, обозначаемый символом
(A, ©
) ≈ множество A, на котором
задана некоторая бинарная операция, обозначаемая ©
. Если множество группоида конечно, то есть ╫A╫
= card (A) = n, то таблица
Кэли операции группоида есть таблица n ╢
n,
в которой элемент x
© y
О
A находится в клетке пересечения
строки
x и столбца y.
Конечный группоид можно считать заданным, если выписана его таблица Кэли.
Задача об авторитетах
У Саши и Даши авторитет Даша.
У Саши и Маши авторитет Саша.
У Саши авторитет Саша.
У Даши и Маши авторитет Саша.
У Даши авторитет Даша.
У Маши авторитет Петя.
У Пети и Даши авторитет Петя.
У Пети и Маши авторитет Петя.
У Пети и Саши авторитет Саша.
У Пети авторитет Саша.
ТАБЛИЦА КЭЛИ ДЛЯ ОПЕРАЦИИ ╚ АВТОРИТЕТ╩
АВТОРИТЕТ | Даша | Маша | Петя | Саша |
Даша | Даша | Саша | Петя | Даша |
Маша | Саша | Петя | Петя | Саша |
Петя | Петя | Петя | Саша | Саша |
Саша | Даша | Саша | Саша | Саша |
* Затенен операционный квадрат
ТАБЛИЦА КЭЛИ, КОРЕЙСКИЙ ВАРИАНТ
АВТОРИТЕТ | Ким | Пак | Чжо |
Ким | Ким | Ким | Ким |
Пак | Ким | Ким | Ким |
Чжо | Ким | Ким | Ким |
Квазигруппа (от латинского слова quasi ≈ как будто, почти и слова группа) ≈ группоид, бинарная операция которого (например, © ) такова, что каждое из уравнений a © x = b, y © a = b имеет единственное решение для любых элементов a, b этого множества. Квазигруппа ≈ одно из обобщений понятия группа. Особенно близки к группам квазигруппы с единицей ≈ лупы, определение которых получается из аксиом групп отбрасыванием требования ассоциативности. Квазигруппу можно рассматривать и как унивесальную алгебру с тремя бинарными операциями (дополнительно левое и правле деление).
Гомоморфный образ квазигруппы, вообще говоря, не квазигруппа, а группоид с делением. Гомоморфизмам квазигруппы на квазигруппе соответствуют конгруэнции специального типа (т.н. нормальные конгруэнции). Значительно большую роль, чем гомоморфизмы, в теории и классификации групп играют изотопии. Изотопия ≈ отношение эквивалентности для бинарных операций на фиксированном множестве, определяемое с помощью трех подстановок этого множества. Оказывается, что всякий группоид, изотопный квазигруппе, ≈ сам квазигруппа, а всякая квазигруппа изотопна некоторой лупе. Для групп понятие изотопии совпадает с понятием изоморфизма.
Таблица умножения конечной квазигруппы
(ее таблица Кэли) в комбинаторике известна по названием латинский
квадрат. Одна из задач комбинаторной теории квазигрупп ≈ отыскание
систем взаимно ортогональных квазигрупп на заданном множестве ≈ важна для
построения конечных проективных плоскостей.
Лупа, или квазигруппа
с единицей, определение которой получается из аксиом группы отбрасыванием
требования ассоциативности, особенно близка к группе.
Полугруппа ≈ множество, с определенной на нем бинарной операцией, удовлетворяющей закону ассоциативности, т.е. группоид (A, © ), в котором для каждой тройки элементов a , b и с выполняется условие a ©( b © с) =(a © b) © с). Понятие полугруппы есть обобщение понятия группы: из аксиом группы остается лишь одна; этим объясняется и термин ╚ полугруппа╩ .
Теория полугрупп принадлежит к числу сравнительно
молодых областей алгебры. Первые исследования, посвященные полугруппам,
относятся к 20-м гг. 20 в. и связаны с именем А. К. Сушкевича. Он, в частности,
определил строение конечной полугруппы без собственных идеалов. К концу
50-х гг. теория полугрупп сформировалась в самостоятельную ветвь современной
алгебры с богатой проблематикой, разнообразными
методами и тесными связями с многими областями математики ≈ как собственно
алгебраическими (в первую очередь, с теорией групп и теорией колец), так
и другими, например, с функциональным анализом, дифференциальной геометрией,
алгебраической теорией автоматов.
то FX станет полугруппой; она называется свободной полугруппой над алфавитом X. Роль свободных полугрупп в общей теории определяется тем, что всякая полугруппа есть гомоморфный образ подходящей свободной полугруппы. Важную роль играют свободные полугруппы и в некоторых приложениях, прежде всего в теории формальных языков и кодов.
Заметную часть общей теории составляет
теория представлений полугрупп преобразованиями и матрицами. Точка зрения
теории представлений нередко проливает дополнительный свет на некоторые
типы полугрупп, естественно определяемые с точки зрения аксиоматики. Внесение
в полугруппы дополнительных структур, согласованных с полугрупповой операцией,
выделяет особые разделы теории полугрупп, такие, как теория топологических
полугрупп, теория упорядоченных полугрупп.
Моноид ≈ это, по определению,
полугруппа с единицей.
Группа (нем. Gruppe) ≈ одно из основных понятий современной математики ≈ есть лупа, являющаяся в то же время полугруппой.
Теория групп изучает в самой общей форме операции, наиболее часто встречающиеся в математике и ее приложениях (примеры таких операций ≈ сложение чисел, умножение чисел, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований и т.п.). При этом теория групп изучает не совсем произвольные операции, а лишь те, которые обладают рядом основных войств, перечисляемых в определении группы.
Формальное определение группы таково. Пусть G ≈ произвольное непустое множество, на котором задана бинарная алгебраическая операция ° , т.е. для любых двух элементов a, b, из G определен некоторый элемент (обозначаемый, например, a ° b) также из G. Если при этом выполняются условия: 1) (a °b) ° c = a ° (b ° c) для любых a, b и c из G; 2) в G существует такой элемент e (называемый единицей, иногда ≈ нейтральным элементом), что a° e = e ° a = a для любого a из G; 3) для любого a из G существует такой элемент a √1 (обратный к a элемент), что a ° a √1 = a √1 ° a = e, то множество G с заданной на нем операцией ° назовем группой.
Примеры групп. 1) множество G
различных движений эвклидовой плоскости, самосовмещающих данную фигуру,
операцией на котором служит композиция движений (если j
, y ≈ два движения
из G, то результатом их композиции
назовем движение j °
y
,
равносильное последовательному выполнению сначала движения j
, а затем движения y
), образует т.н. группу симметрий фигуры. Единицей в этой группе
будет тождественное преобразование плоскости, а обратным к j
элементом ≈ обратное к j
преобразование. Группа G является
характеристикой большей или меньшей симметричности фигуры: чем больше множество
G,
тем симметричнее фигура. Например, группа симметрий квадрата (рис., а)
состои т из восьми движений
(четыре поворота вокруг центра квадрата и четыре отражения: два ≈ относительно диагоналей и два ≈ относительно прямых, соединяющих середины противоположных сторон). Для круга (рис. б) группа симметрий уже содержит бесконечно много элементов (например, все повороты вокруг центра), а для фигуры, нарисованной на рисунке (в) группа симмерий состоит из одного тождественного преобразования.
Если Z ≈ множество всех целых чисел, а операция на Z ≈ их обычное сложение + , то Z ≈ группа. Роль e будет играть число 0, а роль обратного к z элемента ≈ число √z. Часть H множества Z , состоящая из четных чисел, сама будет группой относительно той же операции. В таком случае говорят, что H ≈ подгруппа группы Z . Обе групы Z и H удовлетворяют следующему дополнительному условию: 4) a + b = b + a для любых a и b из группы. Всякая группа, в которой выполняется условие 4) называется коммутативной или абелевой.
3) Множество всех подстановокn
символов образует группу относительно умножения подстановок, называемую
симметрической
группой. При n
Ё
3 симметрическая группа неабелева. Порядок (число элементов) симметрической
группы равен
n ! .