Пусть даны две системы объектов S и S ^/ , причем в первой системе S определены отношения F_k (x₁, x₂, ...), k=1, 2, ..., n, а во второй системе S ^/ √ определены отношения F ^/_k (x ^/₁, x ^/₂, ...), k=1, 2, ..., n. Системы S и S ^/ с указанными на них здесь отношениями называются изоморфными, если между ними существует такое взаимно однозначное соответствие x ^/=j (x), x =y (x ^/), где x √ произвольный элемент системы S, а x ^/ √ произвольный элемент системы S ^/, что из наличия F_k (x₁, x₂, ...) вытекает F ^/_k (x ^/₁, x ^/₂, ...), и наоборот. Отображение j называется в этом случае изоморфным отображением или изоморфизмом системы S на систему S ^/, а обратное ему отображение y √ изоморфизмом системы S ^/, на систему S. Факт изоморфности систем S и S ^/ обозначается следующим образом: S@ S ^/.

Термин изоморфизм был введён в середине XIX века; окончательно современные представления утвердились с 1918 года благодаря работам немецкой ученой Эмми (Амали) Нётер (Noether Amalie Emmy, родилась 23.3.1882 в Эрлангене, умерла 14.4.1935 в Брин-Море, США).

Первоначально понятие изоморфизма возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу.

Существование этого свойства впервые подметил ещё в начале XVII века великий французский философ и математик Рене Декарт (Descartes Renй , родился 31.3.1596, в Лаэ, Турень √ умер 11.2.1650, в Стокгольме, автор, среди прочего, декартовой системы координат и фразы ╚я мыслю, следовательно, я существую╩).

Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией всегда всего лишь с точностью до изоморфизма: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима к другой, изоморфной ей. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много интерпретаций или моделей.

Автоморфизм (от греческих слов a u toz √ сам и m o rjh ) √ изоморфизм некоторой системы объектов на себя.

Все автоморфизмы алгебраической системы S образуют группу относительно умножения отображений. Эта группа обозначается Aut S.

Например, всякое невырожденное линейное преобразование векторного пространства V является автоморфизмом этого пространства. При этом Aut V √ подгруппа в полугруппе всех (т.е. в том числе вырожденных) линейных преобразований пространства V.

Среди автоморфизмов групп выделяются внутренние автоморфизмы. Внутренний автоморфизм группы G ≈ это такой автоморфизм j , для которого j (x)=g^-1xg , где g ≈ некоторый фиксированный элемент из G. Автоморфизм, не являющийся внутренним, называется внешним.

Совокупность всех внутренних автоморфизмов группы G является нормальной подгруппой в Aut G.

Аналогично с помощью обратимых элементов определяются внутренние автоморфизмы ассоциативного кольца с единицей и внутренние автоморфизмы полугруппы с единицей (моноида).

Группа автоморфизмов Aut S несет в себе существенную информацию о строении системы S.

Гомоморфизм √ (от греческих слов o moz √ равный, одинаковый и m or jh ) √ отображение множества элементов одной алгебраической системы в (в том числе на) другую, сохраняющее все значимые отношения (в частности, все операции).

Понятие гомоморфизма является обобщением понятия изоморфизма (в общем случае гомоморфизм √ это отображение одной алгебраической системы, вообще говоря, в другую; в частном же случае, когда имеет место взаимно-однозначное отображение одной алгебраической системы на другую, это и есть изоморфизм).

Например, гомоморфизм группы G в группу H √ это такое отображение j , при котором каждому элементу gО G поставлен в соответствие определенный элемент h=j (g)ОH (который называется образомg, а g в этом случае называется прообразом h), причем произведению двух элементов g₁ и g₂ из G соответствует произведение их образов: j (g₁*g₂)=j (g₁)*j (g₂).

Если алгебраическая система имеет нулевую подсистему (т.е., например, в группе это единица √ точнее: 1 √ в мультипликативной группе или 0 √ в аддитивной группе), то множество элементов первой системы, отображающихся отображением j в нулевую подсистему второй, называется ядром гомоморфизмаj .

Термин гомоморфизм ввел в употребление еще в конце XIX века профессор Берлинского университета Георг (Фердинанд) Фробениус (Frobenius Ferdinand Georg), современное определение дано в 1929 году профессором МГУ Эмми Нётер.

Обобщением понятия гомоморфизма является понятие морфизма в теории категорий. В некоторых разделах математики термин гомоморфизм употребляется вместо термина морфизм и наоборот.

Категория (греч. kat hg ori a ) ≈ совокупность однотипных математических структур (объектов) и отображений (морфизмов) между этими структурами, в которых выполняется ряд естественных дополнительных условий.

Ob ≈ класс объектов категории C.

Mor C ≈ класс морфизмов категории C.

Категория множеств: St (или Ens).

Эпиморфизм √ (от греческих слов e pi √ на, над, при, после и mo r jh ) или, что то же самое, сюръективное отображение (сюръекция) множества A на множество B √ отображение f такое, что образ A есть все B, т.е. f(A)=B. Вместо ╚ f сюръективно╩ говорят также ╚ f есть отображение множества A на множество B╩ . Вообще, для сохранения общности часто говорят: ╚эпиморфизм в╩, ╚ изоморфизм в╩ , ╚ автоморфизм в╩ , но, разумеется, подразумевают: ╚ эпиморфизм на╩ , ╚изоморфизм на╩, ╚ автоморфизм на╩ , что непосредственно вытекает из определений соответствующих морфизмов. Так, во всех этих случаях образом отображения является все множество, т.е. для каждого элемента B существует прообраз в отображаемом множестве A. Эпиморфизм √ это также морфизм категории, на который можно сокращать слева.

Эндоморфизм √ (от греческих слов e ndo n √ внутри и m orj h ) √ гомоморфизм алгебраической системы в (в том числе и на) себя. Все эндоморфизмы произвольной алгебраической системы относительно операции последовательного выполнения отображений образуют полугруппу с единицей (тождественный эндоморфизм). Эндоморфизм векторного пространства называется также линейным преобразованием.

Мономорфизм √ (от греческих слов m ono z √ один и mo r jh ) или, что то же самое, инъективное отображение (инъекция) множества A в множество B √ отображение, при котором различные элементы из A имеют различные образы в B. Инъективное отображение называют также взаимно однозначным отображением множества A в множество B или вложением. Мономорфизм √ это также морфизм категории, на который можно сокращать справа.

Биморфизм √ (от латинского bi √ двойной, двоякий и m orj h ) или, что то же самое, биективное отображение (биекция) √ морфизм категории, на который можно сокращать как слева, так и справа, то есть мономорфизм и эпиморфизм одновременно.

Не следует путать термин гомоморфизм с созвучным математическим термином ≈ гомеоморфизм, который является частным случаем изоморфизма и представляет собой одно из основных понятий топологии, не являющейся отраслью дискретной математики. Тем не менее, полезно знать, что два топологических пространства называются гомеоморфными, если существует взаимно однозначное непрерывное отображение одного из них на другое √ такое, что обратное отображение тоже непрерывно; при этом само отображение называется гомеоморфизмом (по-гречески om oi oz √ подобный). Например, любой круг гомеоморфен любому квадрату, любые два отрезка гомеоморфны, но отрезок не гомеоморфен ни окружности, ни прямой. С другой стороны, прямая гомеоморфна любому интервалу. Свойства фигур, которые не меняются при переходе к гомеоморфным фигурам, называются топологическими. Примеры топологических свойств: компактность (бикомпактность) и связность.

гомоморфизм

все A ╝  (в, на) B

эндоморфизм

все A ╝  (в, на) A

изоморфизм

A ╚  B (вз.одн.)

автоморфизм

A ╚ A(вз.одн.)

эпиморфизм (сюръекция)

все A ╝  (на) B

мономорфизм (инъекция, вложение)

все A ╝  (в, на) B (вз.одн.)
 
 

биморфизм (биекция) = мономорфизм + эпиморфизм
 
 
 

A	B	C	D	E	F	G	H
╧ зач.	Фам.	Имя	Гр.	Ст.	Нап.	Задолж.	╧ б.
96001	Айрян	Анна	1	Айрян	Брунь	---	---
96004	Асеев	Петр	1	Айрян	Вовк	---	75
96007	Баева	Алла	1	Айрян	Верба	---	88
96010	Бакин	Иван	1	Айрян	Гизе	---	---
96013	Бежин	Антон	1	Айрян	Даева	---	44
96016	Белов	Илья	1	Айрян	Деева	ма,ин,ф	12
96019	Богач	Раиса	1	Айрян	Доля	---	90
96022	Брунь	Елена	2	Деева	Елина	---	---
96025	Вовк	Елена	2	Деева	Ершов	---	---
96031	Гизе	Марта	2	Деева	Жук	---	87
96034	Даева	Анна	2	Деева	Жуков	---	21
96037	Деева	Алина	2	Деева	Жучко	---	---
96043	Елина	Яна	3	Рыжов	Янова	---	66
96046	Ершов	Яков	3	Рыжов	Айрян	ин,ф	64
96049	Ерина	Инна	3	Рыжов	Асеев	---	65
96052	Жук	Мария	3	Рыжов	Баева	---	14
96061	Рыжов	Павел	3	Рыжов	Белов	ма	59
96064	Янова	Цвета	3	Рыжов	Богач	ин	---

 

Изоморфизмы: A ╚ B; A ╚  F; множество {старосты этих групп}╚ {номера этих групп}

Эндоморфизмы: A ╝ F; F ╝ A; B ╝ множество {старосты этих групп}

Эпиморфизмы: A ╝ F; F ╝ A; B ╝ множество {старосты этих групп}
 
 

С каждым гомоморфизмом j : G╝ H связана однозначно определенная конгруэнция системы G. Конгруэнция (от латинского congruentia ≈ согласие, соответствие) на универсальной алгебре A √ отношение эквивалентностиp на множестве элементов алгебры A, перестановочное с любой из операций. Последнее означает, что для любой n-арной операции w , заданной в A, если

a_ip a_i' , i = 1, ... , n, a_i,a_i' О A,

то и (a₁, ... , a_nw )p (a_i', ... , a_n'w ).

Конгруэнция p задает на множестве классов, эквивалентных по p элементов, структуру универсальной алгебры (однотипной с исходной алгеброй A). Эта алгебра обозначается A/p , и называется факторалгеброй алгебры A по конгруэнции p . С конгруэнцией p связан естественный эпиморфизм A ╝ A/p , ставящий в соответствие каждому элементу a О A тот класс A/p , которому этот элемент принадлежит. Обратно, всякий гомоморфизм j : A ╝  B однозначно определяет конгруэнцию, классами которой служат полные прообразы элементов алгебры B.

Аналогично определяется конгруэнция в случае алгебраической системы.