Когда мы стоим на улице в солнечный день, мы отбрасываем тень на асфальт. Тень — это двумерная проекция нашего трехмерного тела на плоскость. В линейной алгебре эта физическая аналогия доведена до математического абсолюта с помощью проекционных матриц (проекторов). Линейный оператор проектирования берет вектор из пространства высокой размерности и жестко «прибивает» его к определенному подпространству (линии, плоскости, гиперплоскости), отсекая всю лишнюю информацию. Проекторы являются важнейшим инструментом в компьютерной 3D-графике (отвечая за рендеринг сцены на плоском экране монитора), в теории обработки сигналов и, конечно, в методе наименьших квадратов, где они помогают находить оптимальные приближения.

Когда размерность систем линейных уравнений переваливает за тысячи и миллионы неизвестных, прямое применение стандартных матричных алгоритмов становится невозможным даже для современных суперкомпьютеров: данные просто не помещаются в кэш-память процессора. В таких случаях на помощь приходит стратегия «разделяй и властвуй» (divide and conquer), реализуемая в линейной алгебре через аппарат блочных (клеточных) матриц. Блочная матрица — это обычная матрица, разрезанная горизонтальными и вертикальными линиями на подматрицы меньшего размера (блоки). Работа с такими блоками как с едиными математическими объектами позволяет кардинально ускорить вычисления, оптимизировать использование памяти и аналитически обращать огромные матрицы с помощью знаменитой формулы Фробениуса.

Когда мы работаем с векторами в абстрактных линейных (евклидовых) пространствах, нам необходим математический инструмент для измерения «взаимоотношений» между ними: длин, углов и того, насколько сильно они пересекаются друг с другом. Датский математик Йорген Педерсен Грам ввел конструкцию, которая идеально решает эту задачу. Матрица Грама — это квадратная симметричная матрица, составленная из всех возможных попарных скалярных произведений заданного набора векторов. Эта матрица не только хранит в себе полную метрическую геометрию системы векторов, но и позволяет изящно вычислять многомерные объемы, расстояния от точек до гиперплоскостей и проверять векторы на линейную зависимость без использования метода Гаусса.