Когда квантовая механика столкнулась со специальной теорией относительности Эйнштейна, физики осознали, что обычных комплексных чисел и скалярных уравнений недостаточно для описания реальности. Элементарные частицы, такие как электроны, обладают внутренним моментом импульса — спином. Спин невозможно описать как простое вращение шарика вокруг своей оси. Оказалось, что для математического описания спина и релятивистских квантовых явлений необходимо использовать сложные матричные структуры, образующие особые некоммутативные алгебры. Введение матриц Паули и матриц Дирака навсегда связало фундаментальную физику с продвинутой линейной алгеброй, открыв путь к пониманию антиматерии и квантовой хромодинамики.

В классическом машинном обучении линейные классификаторы (такие как логистическая регрессия или перцептрон) пытаются разделить данные с помощью прямой линии или плоской гиперплоскости. Однако реальные данные редко бывают линейно разделимыми: чаще всего они образуют сложнейшие переплетенные кластеры. Чтобы решить эту проблему, инженеры применяют хитрость: они проецируют данные в пространство гораздо большей размерности, где они «распутываются» и легко разделяются плоскостью. Вычисление координат в новых пространствах потребовало бы невозможных вычислительных мощностей, если бы не «ядровой трюк» (Kernel Trick). Этот математический прием, опирающийся на теорию билинейных форм и матриц Грама, позволяет обучать мощнейшие нелинейные модели с вычислительной стоимостью обычных линейных систем.

Компьютерная революция XX века строилась на булевой алгебре и битах, принимающих значения строго 0 или 1. Однако на микроскопическом уровне законы классической физики перестают работать, уступая место квантовой механике. Квантовые компьютеры используют кубиты — объекты, которые могут находиться в суперпозиции, одновременно являясь и нулем, и единицей с определенными вероятностями. Язык, на котором разговаривает квантовый мир — это линейная алгебра комплексных векторных пространств. Состояния кубитов описываются векторами, а любые логические операции (гейты) над ними — исключительно унитарными матрицами. Изучение свойств этих матриц — это базовый шаг для понимания квантового превосходства, квантовой криптографии и алгоритмов Шора и Гровера.