Построение безрисковой кривой доходности (Yield Curve) — базовый шаг в любой финансовой оценке, от ипотечного кредитования до прайсинга сложных деривативов. Проблема заключается в том, что на рынке торгуется лишь конечное число облигаций (часто с купонами), а математикам нужна непрерывная кривая спот-ставок для любых сроков (теноров). Модель Нельсона-Сигеля, опубликованная в 1987 году, стала самым успешным параметрическим методом аппроксимации временной структуры процентных ставок, принятым на вооружение большинством центральных банков мира.

Классические модели прыжковой диффузии (Мертона и Ку) предполагают конечную активность скачков: цена актива движется как непрерывная диффузия, изредка прерываемая сильными разрывами. Эмпирические данные высокочастотного трейдинга опровергают этот постулат: цены испытывают бесконечное количество микроскопических скачков на любом интервале времени. Модель CGMY (Carr, Geman, Madan, Yor), представленная в 2002 году, совершила революцию, введя в финансовую практику процессы Леви с бесконечной активностью (Infinite Activity), где непрерывная диффузия полностью заменяется бесконечно плотным потоком чистых скачков.

Кредитные рейтинги, присваиваемые агентствами (S&P, Moody’s, Fitch), являются фундаментальным индикатором кредитного качества эмитентов. В финансовой математике динамика изменения рейтингов моделируется стохастическими процессами, где миграция заемщика из одного рейтингового класса в другой описывается аппаратом марковских цепей, что позволяет количественно оценивать риск снижения кредитного качества (Downgrade Risk) и строить кривые вероятности дефолта для сложных портфелей.