7.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6 “ДВУХИНДЕКСНЫЕ
ЗАДАЧИ ЛП. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ”
7.1.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков
решения двухиндексной общей распределительной задачи ЛП и ее применения к
оптимальному распределению производственных мощностей.
7.2.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Постройте
распределительную таблицу для варианта производства без специализации и
преобразуйте ее в транспортную таблицу.
Решите
в Excel полученную
транспортную задачу и преобразуйте полученное решение в решение распределительной
задачи.
Проанализируйте
результаты организации производства без специализации и примите решение о том,
какой корпус будет специализироваться на выпуске какого вида продукции.
7.3.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Общая распределительная задача ЛП – это распределительная задача, в которой работы и ресурсы (исполнители)
выражаются в различных единицах измерения. Например, организация выпуска
разнородной продукции на оборудовании различных типов; организация выполнения
набора заданий работниками различной квалификации; организация перевозки
нескольких видов товаров на транспорте различных видов и т.д. (двухиндексные
задачи).
Исходные параметры модели двухиндексной
общей РЗ
1. n – количество
исполнителей (станков, работников, транспортных средств и т.д.), m – количество видов
работ (выпускаемой продукции, выполняемых заданий, перевозимых товаров и т.д.).
2. – запас рабочего ресурса исполнителя () (фонд времени работы оборудования или работника; количество
транспортных средств и т.д.), пример единиц измерения [ед. t].
3. – план по выполнению работы ()(объем выпуска продукции; объем выполнения заданий;
потребность в перевозимом товаре и т.д.), пример единиц
измерения [ед. тов].
4. – тариф (стоимость) выполнения работы исполнителем (себестоимость единицы
выпуска продукции; затраты на выполнение одного задания; тарифы перевозки
единицы товара), пример единиц измерения [руб./ед. тов.].
5. – интенсивность выполнения работы исполнителем (производительность
выпуска продукции, выполнения заданий; вместимость транспортного средства и
т.д.), пример единиц измерения [ед. тов./ед. t].
Искомые параметры модели РЗ
1. – загруженность исполнителя при выполнении работы (время, затрачиваемое
на выпуск продукции или на выполнение заданий; количество транспортных средств
определенного вида, задействованных в перевозке), пример единиц
измерения [ед. t].
2. – количество работ , которые должен будет произвести исполнитель (объем выпущенной
продукции, выполненных заданий, перевезенных товаров и т.д.), пример единиц
измерения [ед. тов.].
3. – общие расходы на выполнение всего запланированного
объема работ, пример единиц измерения [руб.].
Этапы построения модели
I. Определение
переменных.
II. Построение
распределительной матрицы (табл.7.1).
III.Задание ЦФ.
IV. Задание ограничений.
Таблица 7.1
Общий вид распределительной
матрицы
Исполнители,
|
Работы,
|
Запас ресурса
[ед.ресурса]
|
|
|
…
|
|
|
|
|
…
|
|
|
|
|
|
…
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
|
|
…
|
|
|
План [ед.работы]
|
|
|
…
|
|
|
Модель
двухиндексной общей РЗ
;
|
(7.1)
|
Таким образом, формально модель общей РЗ отличается от
модели ТЗ использованием параметра интенсивности выполняемых работ в ЦФ и для задания
ограничений по выполняемым работам (столбцам).
Этапы решения РЗ
I. Преобразование РЗ в ТЗ:
1) выбор базового ресурса и расчет
нормированных производительностей ресурсов ;
|
(7.2)
|
2) пересчет запаса
рабочего ресурса исполнителей ;
|
ед. t
|
(7.3)
|
3) пересчет планового
задания ;
|
|
(7.4)
|
4) пересчет
себестоимостей работ;
|
|
(7.5)
|
II. Проверка баланса пересчитанных
параметров и построение транспортной
матрицы.
III. Поиск оптимального решения ТЗ
.
IV. Преобразование
оптимального решения ТЗ в оптимальное решение
РЗ , причем переход выполняется по формуле
(7.6):
|
ед. t
|
(7.6)
|
где и – соответственно элементы решения РЗ и ТЗ.
V. Определение
количества работ , соответствующее оптимальному решению РЗ :
|
|
(7.7)
|
VI. Определение ЦФ распределительной
задачи (см. подразд.7.1).
7.4.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ
На АО
“Светлана” подготовлены к серийному производству 5 новых изделий , , , , , оптовые цены которых равны
соответственно (46, 27, 40, 35, 23) [руб./шт.]. Производство может быть
развёрнуто в четырёх сборочных корпусах , , , . Затраты в рублях на изготовление j-го изделия в i-м корпусе задаются матрицей . Предлагается специализировать один (несколько) сборочный
корпус, для чего потребуется его дополнительное переоборудование. Затраты на
переоборудование в тыс.руб. задаются матрицей .
(руб./шт.); (тыс.руб.).
При выпуске
изделий со специализацией затраты упадут на 15–20% в
каждом корпусе. Фонды времени работы корпусов в
плановом периоде равны соответственно 550, 870, 620, 790 часов, план выпуска
продукции в штуках составляет
соответственно 6400, 8700, 16 400, 4800, 4600, а трудоёмкость в минутах
изготовления одной единицы продукции в соответствующем корпусе задается
матрицей .
(мин/шт.).
Рассмотрите два варианта работы предприятия: без
специализации и со специализацией. Выберите наилучший вариант и обоснуйте свой
выбор.
7.5. ПОСТРОЕНИЕ И РЕШЕНИЕ РЗ ЛП
Построение распределительной модели
Пусть – количество времени (ч), которое корпус будет тратить
на выпуск изделия в течение
планового периода.
Производство
без специализации
Рассмотрим
производство без специализации корпусов. Распределительная матрица такой задачи
приведена в табл.7.2.
Таблица 7.2
Распределительная матрица задачи
без специализации
Корпуса,
|
Изделия,
|
Фонд
времени [ч]
|
|
|
|
|
|
|
20
8
|
120
19
|
30
7
|
15
21
|
10
9
|
550
|
|
16,66
43
|
100
12
|
25
40
|
12,50
26
|
8,33
15
|
870
|
|
10
9
|
60
18
|
15
23
|
7,50
27
|
5
20
|
620
|
|
8,33
21
|
50
16
|
12,50
22
|
6,25
13
|
4,17
21
|
790
|
План [шт.]
|
6400
|
8700
|
16 400
|
4800
|
4600
|
|
При ее построении необходимо учитывать, что параметр
интенсивности выполнения работ в данном случае
– это производительность корпуса по выпуску
изделия . Но в исходных данных вместо дано количество
минут, затрачиваемых в корпусе на производство
одного изделия , то есть трудоемкость . Производительность и трудоемкость по своему смыслу –
обратные величины, то есть
|
.
|
(7.8)
|
Например, на производство изделия в корпусе требуется 0,5
минуты, поэтому в течение часа (60 мин) будет произведено120 изделий:
|
.
|
Примечание 7.1. При решении РЗ в Excel можно обойтись без
округлений промежуточных значений всех параметров задачи. Для этого
расчет этих значений необходимо производить прямо в соответствующих ячейках.
Например, в ячейку для вместо округленного
числа 8,333 надо ввести выражение . Результаты решения рассматриваемой задачи (, , , ) получены в Excel
без округления промежуточных вычислений.
На основании
распределительной табл.7.2 строим модель РЗ – ЦФ (приведены округленные
значения) и ограничения:
|
(7.9)
|
Преобразуем РЗ в ТЗ. В качестве базового корпуса можно выбрать любой,
но мы предпочтем корпус с максимальной производительностью, то есть корпус . По формуле (7.2) определим производительности корпусов , нормированные относительно производительности базового
станка:
;
;
; .
Пересчитаем фонды
времени корпусов по формуле (7.3):
[ч]; [ч]; [ч];
[ч].
Пересчитаем
плановое задание по формуле (7.4):
[ч]; [ч]; [ч];
[ч]; [ч]
.
Пересчет себестоимостей
производим по формуле (7.5), например:
[руб./ч]; [руб./ч];
[руб./ч]; [руб./ч]
.
Все пересчитанные параметры РЗ сведены в транспортную
матрицу задачи без специализации (табл.7.3). Перед записью этой матрицы надо
проверить сбалансированность полученной ТЗ, то есть условие
.
В данной задаче условие баланса
не выполняется, так как 1914,167>1719,167, то есть
.
Это означает, что фонды времени
корпусов позволяют произвести больше продукции, чем это предусмотрено плановым
заданием. Для получения баланса добавим в транспортную таблицу фиктивный
столбец с плановым заданием
[ч]
и фиктивными тарифами [руб./ч],
превосходящими по своему значению все реальные тарифы полученной ТЗ.
Таблица 7.3
Транспортная матрица задачи без
специализации
Корпуса,
|
Изделия,
|
[ч]
|
|
|
|
|
|
Иф
|
|
160
|
2280
|
210
|
315
|
90
|
10 000
|
940
|
|
860
|
1440
|
1200
|
390
|
150
|
10 000
|
141,61
|
|
180
|
2160
|
690
|
405
|
200
|
10 000
|
275
|
|
420
|
1920
|
660
|
195
|
210
|
10 000
|
282,88
|
[ч]
|
300
|
81,667
|
580
|
346,667
|
38,334
|
195
|
1914,167
|
Примечание 7.2.
При решении ТЗ в Excel,
возможно, придется увеличить относительную погрешность решения в параметрах
окна "Поиск решения".
Оптимальное
решение ТЗ [ч] из табл.7.3 без фиктивного
столбца (все значения округлены до трех знаков после запятой) имеет
следующий вид:
|
3,333333
|
0
|
546,6667
|
0
|
0
|
0
|
72,5
|
0
|
0
|
460
|
310
|
0
|
0
|
0
|
0
|
6,667
|
0
|
0
|
320
|
0
|
Оптимальное
решение РЗ [ч] получаем из оптимального решения ТЗ [ч] по формуле (7.6), например:
[ч]; [ч]; [ч];
|
3,33333
|
0
|
546,667
|
0
|
0
|
0
|
87
|
0
|
0
|
552
|
620
|
0
|
0
|
0
|
0
|
16
|
0
|
0
|
768
|
0
|
Значения – это время, в течение которого корпус будет выпускать
изделия . Чтобы узнать, какое количество продукции будут выпускать
корпуса, то есть [шт.], воспользуемся формулой (7.7), например:
[шт.]; [шт.].
В данном расчете округления (до меньшего целого) обязательны, поскольку
выпускаемая продукция штучная:
|
66
|
0
|
16400
|
0
|
0
|
0
|
8699
|
0
|
0
|
4600
|
6200
|
0
|
0
|
0
|
0
|
133
|
0
|
0
|
4800
|
0
|
Определим
затраты на производство продукции без специализации:
;
|
(7.10)
|
[руб].
При расчете затрат на производство значения в фиктивном столбце (строке) не
учитываются. Затраты, рассчитанные по формуле (7.1) и формуле (7.10), в
принципе, одинаковы, но в данной задаче будут несколько различаться. Это связано
с тем, что в (7.10) мы использовали уже округленные до меньшего целого значения
.
Производство
со специализацией
Чтобы принять
решение о том, какой корпус будем специализировать и на выпуске какой
продукции, необходимо проанализировать распределение выпуска продукции по
корпусам, то есть . В рассматриваемой задаче первый корпус занят в
основном выпуском продукции (16 400 шт. изделия и 66 шт. изделия ). Число 16 400 шт. изделий – это наибольшее количество продукции одного и
того же вида, производимое одним и тем же корпусом. Поэтому примем решение о
специализации первого корпуса на выпуске изделий .
Таким образом,
возникает задача оптимального распределения продукции по неспециализированным
корпусам , и. При этом необходимо выяснить, сможет ли специализируемый
корпус за свой фонд
времени произвести плановое задание по выбранному виду продукции . В данном случае по видно, что корпус
успевает произвести плановые 16 400 шт. изделия . Таким образом, в новой задаче будем распределять
продукцию , , , по корпусам , и .
Примечание 7.3. В общем
случае для ответа на вопрос, успеет ли специализируемый корпус выполнить план
по конкретной продукции, необходимо использовать данные о фонде времени и
производительности корпуса.
Примечание 7.4. Если бы
корпус не успевал за
свой фонд времени выпустить планируемое количество изделий , то в новой задаче надо было бы распределять между
корпусами также и ту часть , которую не успел выпустить .
Распределительная
матрица задачи без специализации, в которой учтено уменьшение затрат на
производство на 15%, представлена в таблице 7.4.
Таблица 7.4
Распределительная матрица задачи
со специализацией
Корпуса,
|
Изделия,
|
Фонд
времени [ч]
|
|
|
|
|
|
16,667
36,55
|
100
10,2
|
12,500
22,1
|
8,333
12,75
|
870
|
|
10
7,65
|
60
15,3
|
7,500
22,95
|
5
17
|
620
|
|
8,333
17,85
|
50
13,6
|
6,250
11,05
|
4,167
17,85
|
790
|
План [шт.]
|
6400
|
8700
|
4800
|
4600
|
|
Таблица 7.5
Транспортная матрица задачи со
специализацией
Корпуса,
|
Изделия,
|
[ч]
|
|
|
|
|
|
|
609,167
|
|
|
|
|
|
|