При изучении линейной алгебры в университете мы привыкаем, что числа внутри векторов и матриц являются вещественными или комплексными, а их количество бесконечно. Однако аксиоматика векторных пространств абсолютно не требует непрерывности. Французский математик Эварист Галуа показал, что можно строить безупречную алгебру над конечными полями (наборами, состоящими из строго ограниченного количества чисел), где операции сложения и умножения выполняются по модулю (как на циферблате часов). Векторные пространства над полями Галуа (GF) кардинально отличаются от евклидовых: в них нет понятий «больше» или «меньше», нет расстояний и углов, но именно эта дискретная линейная алгебра является математической броней современного интернета, обеспечивая работу криптографии и кодов, исправляющих ошибки.

Когда мы решаем классическую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида AX = B, мы ищем вектор-столбец X. Однако в теории автоматического управления, радиотехнике и теории устойчивости возникают системы совершенно иного уровня, где искомой величиной является целая матрица, а коэффициенты сами выступают в роли матриц. Эти задачи описываются линейными матричными уравнениями. Самыми известными и важными из них являются уравнение Сильвестра и его симметричный частный случай — уравнение Ляпунова. Эти алгебраические конструкции служат главным математическим инструментом для оценки того, пойдет ли процесс управления космическим аппаратом или химическим реактором вразнос, или система плавно вернется в состояние равновесия.

Когда мы вращаем сферу, она переходит сама в себя, не меняя формы. Это проявление непрерывной симметрии. В конце XIX века норвежский математик Софус Ли разработал теорию, позволяющую анализировать такие непрерывные преобразования с помощью аппарата линейной алгебры и математического анализа. Он обнаружил, что сложные, криволинейные глобальные преобразования (группы Ли) могут быть полностью описаны своими бесконечно малыми, локальными свойствами вблизи точки покоя. Это локальное (линейное) приближение получило название алгебры Ли. Сегодня матричные группы и алгебры Ли являются абсолютным фундаментом квантовой механики, теории элементарных частиц (Стандартной модели) и кинематики робототехнических систем.

Когда мы смотрим на прямоугольную матрицу, заполненную сотнями чисел, возникает естественный вопрос: сколько в ней действительно уникальной, независимой информации? Часто строки матрицы дублируют друг друга или являются простыми линейными комбинациями других строк (как уравнения, получаемые друг из друга простым умножением на число). Характеристика, которая отсеивает весь этот информационный «мусор» и показывает истинную размерность данных, называется рангом матрицы. Понятие ранга является стержневым в линейной алгебре: оно определяет совместность систем уравнений, обратимость операторов и размерности фундаментальных подпространств, связанных с матрицей.