В классическом машинном обучении линейные классификаторы (такие как логистическая регрессия или перцептрон) пытаются разделить данные с помощью прямой линии или плоской гиперплоскости. Однако реальные данные редко бывают линейно разделимыми: чаще всего они образуют сложнейшие переплетенные кластеры. Чтобы решить эту проблему, инженеры применяют хитрость: они проецируют данные в пространство гораздо большей размерности, где они «распутываются» и легко разделяются плоскостью. Вычисление координат в новых пространствах потребовало бы невозможных вычислительных мощностей, если бы не «ядровой трюк» (Kernel Trick). Этот математический прием, опирающийся на теорию билинейных форм и матриц Грама, позволяет обучать мощнейшие нелинейные модели с вычислительной стоимостью обычных линейных систем.

Компьютерная революция XX века строилась на булевой алгебре и битах, принимающих значения строго 0 или 1. Однако на микроскопическом уровне законы классической физики перестают работать, уступая место квантовой механике. Квантовые компьютеры используют кубиты — объекты, которые могут находиться в суперпозиции, одновременно являясь и нулем, и единицей с определенными вероятностями. Язык, на котором разговаривает квантовый мир — это линейная алгебра комплексных векторных пространств. Состояния кубитов описываются векторами, а любые логические операции (гейты) над ними — исключительно унитарными матрицами. Изучение свойств этих матриц — это базовый шаг для понимания квантового превосходства, квантовой криптографии и алгоритмов Шора и Гровера.

В реальном мире многие процессы развиваются не по жестким детерминированным законам, а носят вероятностный характер. Эволюция погоды, колебания фондовых рынков, поведение пользователей в интернете — все это примеры стохастических систем. В начале XX века русский математик Андрей Андреевич Марков предложил гениальную математическую модель для описания таких процессов, названную впоследствии цепями Маркова. Главная идея модели состоит в том, что будущее состояние системы зависит исключительно от ее текущего состояния и совершенно не зависит от предыстории. В терминах линейной алгебры такая динамика идеально описывается векторами вероятностей и особым классом матриц — стохастическими матрицами (или матрицами переходных вероятностей).

Когда мы обсуждаем линейную независимость в обычной алгебре, мы имеем дело с векторами-столбцами, состоящими из чисел, и используем матрицу Грама или метод Гаусса. Но как проверить линейную независимость не векторов, а абстрактных функций, например, синусов, экспонент или логарифмов? Для решения этой задачи польский математик-мистик Юзеф Мария Гене-Вронский в 1812 году ввел специальную конструкцию, получившую позже название «Вронскиан». Определитель Вронского перебрасывает мост между алгеброй матриц и математическим анализом непрерывных функций, являясь самым могущественным инструментом при построении фундаментов общих решений систем линейных дифференциальных уравнений (ОДУ).