Матричная алгебра способна извлекать колоссальные объемы информации не только из физических уравнений, но и из абстрактных топологических сетей (графов). Спектральная теория графов изучает свойства матриц смежности и лапласианов сетей для ответов на важнейшие вопросы топологии: насколько хорошо перемешивается информация в социальной сети? Насколько сложно разорвать интернет-соединение пополам? В центре этой теории находятся так называемые экспандеры — уникальный класс графов, которые сочетают в себе на первый взгляд несочетаемое: они имеют крайне мало ребер (очень разреженные, дешевые в постройке), но при этом обладают невероятно высокой алгебраической связностью, обеспечивая фантастическую скорость распространения сигнала.

Матрицы Вандермонда позволяют восстанавливать полиномы, но многие физические процессы (например, резонансные контуры в электротехнике или квантовые сечения рассеяния) лучше описываются не полиномами, а рациональными функциями (дробями, где числитель и знаменатель — многочлены). Для алгебраической интерполяции рациональными функциями французский математик Огюстен Луи Коши предложил специальный класс матриц. Элементы матрицы Коши строятся по строгой дробной формуле, опирающейся на два независимых набора чисел. Эта матрица обладает одним из самых красивых аналитических определителей в математике, но при этом порождает чудовищные вычислительные проблемы из-за экстремальной степени плохой обусловленности.

Матричная алгебра полна конструкций с уникальными геометрическими свойствами, но мало какие из них оказали столь же колоссальное влияние на телекоммуникации и информационную безопасность, как матрицы Адамара. Названные в честь французского математика Жака Адамара, эти квадратные матрицы состоят исключительно из двух чисел: +1 и -1. При этом их строки и столбцы абсолютно ортогональны друг другу. Эти матрицы представляют собой теоретический предел того, насколько далеко векторы с заданными координатами могут быть «растопырены» в многомерном пространстве. Сегодня матрицы Адамара лежат в сердцевине алгоритмов сжатия данных, квантовых алгоритмов и сотовых сетей стандарта CDMA.

Одной из центральных задач вычислительной алгебры и алгебраической геометрии является определение того, имеют ли два многочлена (полинома) хотя бы один общий корень. Поиск самих корней для полиномов высокой степени невозможен аналитически, однако алгебра позволяет дать строгий ответ на вопрос об их пересечении с помощью чисто матричных вычислений. Британский математик Джеймс Джозеф Сильвестр разработал уникальную матричную конструкцию, определитель которой мгновенно показывает наличие общих корней. Матрица Сильвестра и связанный с ней результант — это фундамент алгоритмов компьютерной алгебры для исключения переменных в системах нелинейных уравнений и построения базисов Грёбнера.