Проективная геометрия изучает свойства фигур, которые остаются неизменными при центральном проецировании (например, при отбрасывании тени от точечного источника света или получении фотографии на матрице камеры). В отличие от классической аффинной или евклидовой геометрии, проективные преобразования не сохраняют ни длин отрезков, ни величин углов, ни даже параллельности прямых линий (параллельные рельсы на фотографии сходятся в точку на горизонте). Однако в этом хаосе оптических искажений существует один уникальный алгебраический инвариант, который остается абсолютно незыблемым. Этот инвариант называется двойственным (или сложным) отношением четырех точек, и его понимание является ключом к алгоритмам компьютерного зрения и 3D-реконструкции.

Когда аналитическая геометрия переходит от изучения прямых линий и плоскостей к исследованию криволинейных объектов (эллипсов, гиперболоидов, конусов), линейные уравнения сменяются полиномами второй степени. Алгебраическим сердцем всех таких уравнений является теория квадратичных форм. Квадратичная форма — это однородный многочлен второй степени от нескольких переменных, который можно элегантно записать в виде матричного умножения вектора-строки, квадратной матрицы и вектора-столбца. Изучение свойств квадратичных форм и порождающих их билинейных отображений позволяет математикам мгновенно классифицировать поверхности, находить их оси симметрии и анализировать кривизну топологических пространств, не прибегая к графическим построениям.

Как передать объемную форму трехмерного объекта на абсолютно плоском листе бумаги или экране монитора? Эта фундаментальная проблема решается методами начертательной геометрии и аналитической теории проецирования. Для создания инженерных чертежей, на которых размеры детали можно измерять линейкой без сложных пересчетов, используется аппарат аксонометрических проекций. Самой популярной и наглядной из них является изометрическая проекция. Построение математических матриц проекции — это чистая линейная алгебра, которая позволяет компьютерным процессорам переводить 3D-координаты вершин моделей в 2D-координаты пикселей экрана, сохраняя ощущение пространственной глубины и строгую параллельность линий.

Вычисление площадей и объемов тел сложной пространственной формы — одна из древнейших задач геометрии. В аналитической геометрии и интегральном исчислении особое место занимают тела и поверхности вращения, которые образуются при непрерывном вращении произвольной плоской кривой вокруг некоторой оси. Задолго до изобретения дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, античный математик Папп Александрийский (а позже, в XVII веке, швейцарец Пауль Гюльден) сформулировали две поразительные теоремы. Эти теоремы связывают площадь поверхности и объем тела вращения с кинематической траекторией центра масс образующей фигуры, элегантно соединяя геометрию с классической механикой.