Определенный интеграл Римана ∫_a^b f(x) dx — предел интегральных сумм при разбиении [a,b] на части с max Δx_i →0. Это основа для вычисления площадей, работ, объемов в анализе [web:8].

Несобственные интегралы обобщают определенные интегралы на бесконечные интервалы или функции с разрывами: ∫_a^∞ f(x) dx = lim_{b→∞} ∫_a^b f(x) dx. Сходимость требует существования предела. Эти интегралы возникают в вероятностях, физике, анализе Фурье. (278 символов)

Интегрирование по частям ∫u dv = uv - ∫v du и подстановка t = g(x) позволяют вычислять сложные интегралы, сводя их к более простым. Эти методы основаны на формуле производной произведения и замене переменной. Статья детально разбирает алгоритмы и примеры применения. (289 символов)

Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный интеграл Римана с первообразной: ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), где F'(x) = f(x). Первообразная F(x) — любая функция, чья производная равна подынтегральной. Эта фундаментальная теорема исчисления объединяет дифференциальное и интегральное исчисление в единое целое. (324 символа)