Производная f'(x) определяет мгновенную скорость изменения функции и является пределом (f(x+Δx)-f(x))/Δx при Δx→0. Это ключевое понятие дифференциального исчисления, применяемое в оптимизации, физике и экономике. Статья раскрывает определение, правила дифференцирования и приложения [web:7].

Предел функции лежит в фундаменте математического анализа, определяя поведение функции при приближении аргумента к определенной точке или бесконечности. Это понятие позволяет формализовать интуитивные представления о непрерывности и переходах, став основой для производных и интегралов. В этой статье подробно разберем определение, свойства и методы вычисления пределов [web:6].

Локальный максимум/минимум — точка, где функция не превосходит/не уступает соседним значениям. Теорема Ферма: в точке локального экстремума f'(c)=0 (при дифференцируемости). Теорема Ролля: если f(a)=f(b), f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то ∃c: f'(c)=0. (312 символов)

Вторая производная f''(x) характеризует скорость изменения первой производной, определяя выпуклость графика. Кривизна κ = |f''(x)|/(1+(f'(x))²)^{3/2} количественно измеряет отклонение от прямой. Точки перегиба f'' меняет знак. Эти понятия важны для анализа форм кривых. (287 символов)