Численное интегрирование: квадратурные формулы и методы Ньютона-Котеса

Суть численного интегрирования

Операция вычисления определенного интеграла функции является фундаментальной в математике и физике. Она отвечает за вычисление площадей криволинейных трапеций, объемов тел, пройденного пути по графику скорости, работы переменной силы и множества других величин. Аналитически определенный интеграл вычисляется с помощью формулы Ньютона-Лейбница, которая требует нахождения первообразной функции. Однако существует огромный класс так называемых "неберущихся" интегралов — функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции (например, интеграл от e^(-x^2) в теории вероятностей или интеграл sin(x)/x). Кроме того, часто подынтегральная функция задана не аналитически, а в виде таблицы экспериментальных данных. В этих случаях спасает численное интегрирование.

Численное интегрирование базируется на квадратурных формулах. Идея состоит в том, чтобы приближенно заменить интеграл конечной суммой значений функции в заданных точках (узлах интегрирования), умноженных на определенные весовые коэффициенты. Отрезок интегрирования разбивается на множество мелких подотрезков, вычисляется площадь на каждом из них, а результаты суммируются.

Методы прямоугольников и трапеций

Самый простой подход — методы прямоугольников. На каждом малом отрезке [x_i, x_{i+1}] криволинейная функция заменяется горизонтальной линией. В зависимости от того, в какой точке берется значение функции для построения прямоугольника, различают методы левых, правых и средних прямоугольников. Метод средних прямоугольников является наиболее точным из этой группы, так как площадь выступающих частей прямоугольника частично компенсирует площадь недостающих.

Следующим шагом в повышении точности является метод трапеций. В этом алгоритме на каждом подотрезке функция аппроксимируется не горизонтальной линией, а отрезком прямой, соединяющим точки (x_i, f(x_i)) и (x_{i+1}, f(x_{i+1})). Таким образом, мы вычисляем суммы площадей прямолинейных трапеций. Погрешность метода трапеций пропорциональна квадрату шага разбиения, что делает его достаточно эффективным для простых задач, хотя он уступает методу средних прямоугольников в точности для дважды дифференцируемых функций.

Метод парабол (формула Симпсона)

Если метод прямоугольников использует полином нулевой степени (константу), а метод трапеций — полином первой степени (прямую), то логичным развитием является использование полинома второй степени — параболы. Это и есть суть метода Симпсона.

Для применения метода Симпсона отрезок интегрирования должен быть разбит на четное количество подотрезков. На каждых двух соседних отрезках через три точки графика функции проводится парабола. Площадь под этой параболой вычисляется аналитически, и полученные значения суммируются. Формула Симпсона обладает удивительным свойством: она точна не только для многочленов второй степени, но и для многочленов третьей степени. Скорость сходимости метода Симпсона пропорциональна четвертой степени шага сетки (O(h^4)), что позволяет получать высокую точность при относительно небольшом количестве узлов. Эти методы (прямоугольников, трапеций и Симпсона) объединяются под общим названием формулы Ньютона-Котеса.