В аналитической геометрии и векторном анализе визуализация функций трех переменных $U = f(x, y, z)$ представляет собой серьезную математическую проблему, поскольку для прямого построения графика такой функции потребовалось бы четырехмерное пространство. Чтобы обойти это топологическое ограничение, математики и физики используют концепцию поверхностей уровня. Подобно тому, как двумерные изолинии на топографической карте показывают линии одинаковой высоты рельефа, трехмерные поверхности уровня отображают множества точек в пространстве, в которых скалярная функция принимает одно и то же постоянное значение. Этот геометрический аппарат является фундаментом для описания температурных, барических и гравитационных полей в физике сплошных сред.

Традиционная аналитическая геометрия описывает гладкие, идеально ровные объекты: прямые, плоскости, эллипсоиды. Однако природные структуры — облака, береговые линии, кроны деревьев и горные хребты — имеют принципиально иную топологию. Они изломаны, шероховаты и обладают свойством самоподобия (каждый фрагмент объекта при увеличении выглядит как уменьшенная копия всего объекта). Для математического описания таких структур Бенуа Мандельброт ввел понятие фрактала. Одним из самых мощных методов генерации и анализа детерминированных фракталов в аналитической геометрии является применение Систем Итерируемых Функций (Iterated Function Systems, IFS), опирающихся на алгебру сжимающих аффинных преобразований.

Линейные преобразования пространства задаются умножением векторов координат на квадратные матрицы. На первый взгляд, умножение на матрицу общего вида выглядит как хаотичная и непредсказуемая деформация (перекос, растяжение и сдвиг одновременно). Существует ли способ геометрически упорядочить этот хаос? Аналитическая геометрия совместно с линейной алгеброй дает положительный ответ в виде теоремы о Сингулярном разложении (Singular Value Decomposition, SVD). Эта теорема доказывает, что абсолютно любое, сколь угодно сложное линейное преобразование пространства можно расщепить на последовательность из трех простейших, интуитивно понятных геометрических шагов: чистого вращения, чистого растяжения по осям и еще одного чистого вращения.

Классическая аналитическая геометрия изучает кривые, заданные жесткими алгебраическими уравнениями (окружности, параболы, гиперболы). Однако для промышленного дизайна кузовов автомобилей, проектирования фюзеляжей самолетов и создания масштабируемых векторных шрифтов (TrueType) требуются линии совершенно иной природы — свободные, плавные и легко управляемые. В 1960-х годах французские инженеры Пьер Безье и Поль де Кастельжо разработали математический аппарат для параметрического конструирования таких кривых. Кривые Безье стали триумфом прикладной аналитической геометрии, навсегда изменив облик систем автоматизированного проектирования (CAD) и современной компьютерной 3D-графики.