Когда картографы создают карты земного шара, они неизбежно искажают площади и формы континентов, перенося сферическую поверхность на плоский лист. Однако для морской навигации критически важно, чтобы углы пересечения компасных курсов на карте строго соответствовали реальным углам в океане. Преобразования аналитической геометрии, которые до неузнаваемости искажают расстояния и площади, но при этом абсолютно идеально сохраняют все углы (как по величине, так и по направлению отсчета), называются конформными отображениями. Язык комплексного анализа позволяет описывать эти геометрические чудеса простейшими алгебраическими функциями, находящими мощнейшее применение в аэродинамике и электростатике.

Принято считать, что геометрия оперирует исключительно непрерывными бесконечными пространствами, опираясь на поле действительных чисел. Однако аксиомы аналитической геометрии и проективной алгебры (точки, линии, пересечения и матрицы) математически безупречно работают над любыми полями, включая конечные поля Галуа GF(q), содержащие лишь конечное количество элементов. Применение однородных координат над конечными полями рождает удивительную комбинаторную геометрию, состоящую из строго ограниченного числа точек. Конечные проективные плоскости лишены понятий метрики и расстояния, но их жесткая, симметричная структура инцидентности стала основой для создания алгоритмов криптографии, теории расписаний и кодов, исправляющих ошибки.

Когда аналитическая геометрия расширяется до Римановых многообразий (где метрика изменяется от точки к точке), возникает потребность строго описать степень «изогнутости» самого пространства. Изначальный объект, содержащий всю информацию о кривизне — тензор Римана — представляет собой колоссальную конструкцию с четырьмя индексами, работать с которой невероятно сложно (в 4-мерном пространстве он имеет 256 компонентов). Чтобы извлечь из него наиболее важную физическую информацию, математики используют операцию алгебраической свертки, получая более компактные, но мощные инварианты: тензор Риччи и скалярную кривизну. Этот математический аппарат Грегорио Риччи-Курбастро стал тем языком, на котором Эйнштейн написал свои законы Вселенной.

Любое аффинное преобразование плоскости или пространства деформирует геометрические объекты, растягивая или сжимая их вдоль определенных осей. Однако в аналитической геометрии и гидродинамике существует совершенно особый, элитный класс преобразований, называемый эквиареальным или унимодулярным. Эти преобразования могут до неузнаваемости исказить форму фигуры, превратив идеальный квадрат в невероятно вытянутый параллелограмм, но при этом они абсолютно строго сохраняют ее общую площадь (или объем в 3D). Изучение матриц унимодулярных преобразований является ключом к пониманию физических законов сохранения и геометрии несжимаемых жидкостей.