Проективные преобразования и двойственное отношение точек

Проективная геометрия изучает свойства фигур, которые остаются неизменными при центральном проецировании (например, при отбрасывании тени от точечного источника света или получении фотографии на матрице камеры). В отличие от классической аффинной или евклидовой геометрии, проективные преобразования не сохраняют ни длин отрезков, ни величин углов, ни даже параллельности прямых линий (параллельные рельсы на фотографии сходятся в точку на горизонте). Однако в этом хаосе оптических искажений существует один уникальный алгебраический инвариант, который остается абсолютно незыблемым. Этот инвариант называется двойственным (или сложным) отношением четырех точек, и его понимание является ключом к алгоритмам компьютерного зрения и 3D-реконструкции.

Простое и двойственное (сложное) отношение

В аффинной геометрии инвариантом является простое отношение трех точек, лежащих на одной прямой: точка C делит отрезок AB в определенной пропорции (длина AC делится на длину CB). При параллельном проецировании эта пропорция сохраняется, но при центральном (перспективном) проецировании она безвозвратно меняется. Чтобы найти величину, невосприимчивую к перспективе, необходимо взять четыре точки на одной прямой: A, B, C и D. Двойственное отношение этих четырех точек (обозначаемое как (ABCD)) алгебраически определяется как отношение двух простых отношений: (AC/CB) разделить на (AD/DB). С учетом знаков направленных отрезков, эта сложная математическая дробь обладает феноменальным свойством: под каким бы углом мы ни фотографировали эту прямую линию, значение двойственного отношения на фотографии будет в точности равно значению на реальном физическом объекте.

Гармоническая четверка точек

Особый аналитический интерес представляет случай, когда двойственное отношение (ABCD) строго равно минус единице. В этой ситуации говорят, что точки C и D гармонически делят отрезок AB. Геометрически это означает, что точка C делит отрезок AB внутренним образом в той же самой пропорции, в которой точка D делит его внешним образом (находясь на продолжении отрезка). Понятие гармонической четверки лежит в основе построения полных четырехсторонников и проективной классификации конических сечений. Если из любой точки вне окружности провести две касательные, а через точки касания провести секущую прямую (поляру), то любые лучи, пересекающие эту конструкцию, будут генерировать идеальные гармонические четверки точек пересечения.

Матрицы гомографии (Коллинеации)

С алгебраической точки зрения любое проективное преобразование плоскости (гомография) описывается линейным преобразованием однородных координат. Вектор координат точки умножается на невырожденную матрицу H размера 3x3. В отличие от аффинной матрицы, у проективной матрицы H последняя строка не обязана состоять из нулей и единицы. Элементы последней строки (h31, h32, h33) физически отвечают за проективное искажение перспективы: они делят координаты x и y на зависящий от позиции знаменатель, тем самым моделируя удаление объектов вглубь сцены и перспективное сокращение масштабов. Для полного задания матрицы гомографии (с точностью до масштабного множителя) необходимо и достаточно знать координаты четырех точек до преобразования и координаты этих же четырех точек после преобразования.

Применение в фотограмметрии и панорамной сшивке

Аналитический аппарат матриц гомографии и инвариантности двойственного отношения непрерывно работает в процессорах наших смартфонов. Когда программа «сшивает» панораму из нескольких фотографий, сделанных с одной точки, но под разными углами, алгоритмы компьютерного зрения ищут на фотографиях особые, совпадающие точки. Найдя четыре такие точки на двух соседних кадрах, программа мгновенно решает систему линейных алгебраических уравнений, находит точную проективную матрицу H размера 3x3, и с помощью этой матрицы математически «выпрямляет» и накладывает одно изображение на другое с идеальной геометрической точностью, компенсируя все углы наклона объектива.

Оценить