Фундаментальная красота финансовой математики заключается в ее способности связывать, казалось бы, совершенно разные области алгебры и теории вероятностей. Теорема Фейнмана-Каца (Feynman-Kac formula), разработанная Ричардом Фейнманом для квантовой механики и строго доказанная Марком Кацем в 1949 году, устанавливает абсолютный математический изоморфизм между математическим ожиданием случайных процессов и решениями детерминированных параболических дифференциальных уравнений в частных производных (УЧП). Без этой теоремы современная количественная оценка деривативов была бы концептуально невозможна.

Азиатские опционы относятся к самому популярному классу экзотических деривативов, зависящих от пути (Path-Dependent Options). В отличие от классических европейских контрактов, где выплата зависит исключительно от цены базового актива в момент экспирации, выплата по азиатскому опциону определяется средним значением цен актива за определенный период времени. Такая структура защищает корпоративных клиентов (например, импортеров нефти) от рыночных манипуляций в день истечения контракта и стоит дешевле ванильных опционов, так как усреднение существенно снижает волатильность итогового значения.

Построение безрисковой кривой доходности (Yield Curve) — базовый шаг в любой финансовой оценке, от ипотечного кредитования до прайсинга сложных деривативов. Проблема заключается в том, что на рынке торгуется лишь конечное число облигаций (часто с купонами), а математикам нужна непрерывная кривая спот-ставок для любых сроков (теноров). Модель Нельсона-Сигеля, опубликованная в 1987 году, стала самым успешным параметрическим методом аппроксимации временной структуры процентных ставок, принятым на вооружение большинством центральных банков мира.

Классические модели прыжковой диффузии (Мертона и Ку) предполагают конечную активность скачков: цена актива движется как непрерывная диффузия, изредка прерываемая сильными разрывами. Эмпирические данные высокочастотного трейдинга опровергают этот постулат: цены испытывают бесконечное количество микроскопических скачков на любом интервале времени. Модель CGMY (Carr, Geman, Madan, Yor), представленная в 2002 году, совершила революцию, введя в финансовую практику процессы Леви с бесконечной активностью (Infinite Activity), где непрерывная диффузия полностью заменяется бесконечно плотным потоком чистых скачков.