Оптимизация портфеля по Марковицу в ее современной индустриальной формулировке представляет собой задачу выпуклого квадратичного программирования (Quadratic Programming, QP) с ограничениями в виде равенств и неравенств (запрет коротких позиций, лимиты на сектора). Математическим фундаментом для нахождения точного аналитического или численного решения этой задачи служат условия Каруша-Куна-Таккера (KKT), обобщающие метод множителей Лагранжа на случай ограничений-неравенств.

Классическая концепция безарбитражного ценообразования Блэка-Шоулза требует полноты рынка, где любой риск может быть идеально захеджирован. На реальных неполных рынках (при наличии транзакционных издержек, скачков или неторгуемых факторов риска, таких как погода или волатильность) идеальная репликация невозможна. Метод цен безразличия (Utility Indifference Pricing), основанный на теории ожидаемой полезности, предоставляет строгий экономический и математический подход к оценке деривативов через предпочтения инвестора.

Оценка американских и бермудских опционов традиционно осуществлялась методами конечных разностей или биномиальными деревьями, которые неэффективны при высокой размерности (опционы на корзину акций). Метод Лонгстаффа-Шварца (Least-Squares Monte Carlo, LSM), представленный в 2001 году, совершил переворот, объединив гибкость симуляций Монте-Карло с регрессионным анализом для нахождения оптимальной границы досрочного исполнения деривативов.

Корзинные опционы (Basket Options) — это деривативы, выплата по которым зависит от взвешенной суммы цен нескольких базовых активов. Они чрезвычайно популярны в индексном инвестировании и структурированных продуктах, однако их оценка сталкивается с классической математической преградой: сумма логнормальных случайных величин не является логнормальной, что делает невозможным получение точной формулы Блэка-Шоулза. Метод Леви предоставляет изящное аналитическое приближение для решения этой задачи.