Теорема Гирсанова: изменение вероятностной меры

В финансовой математике часто удобно работать в физической (реальной) мере, но ценообразование требует риск-нейтральной меры, где ожидаемая доходность активов равна безрисковой ставке. Теорема Гирсанова описывает, как меняется процесс винеровского движения при смене меры: она показывает, что процесс с дрейфом в одной мере может стать винеровским движением без дрейфа в другой мере при условии добавления корректной функции "премии за риск". Математически это выражается через экспоненциальный мартингал (плотность Радона-Никодима), который определяет переход между мерами.

Использование теоремы Гирсанова позволяет устранить дрейф из уравнений активов, что упрощает расчеты стоимости производных инструментов. Этот метод критически важен при оценке опционов, где риск должен быть нейтрализован через хеджирование. Без возможности легальной смены меры через теорему Гирсанова, теория арбитражного ценообразования была бы невозможна. Ученые используют теорему для разработки моделей, учитывающих премии за риск, что делает оценку инструментов более реалистичной и соответствующей рыночным ожиданиям инвесторов.

Численная реализация перехода между мерами требует точного расчета плотности Радона-Никодима для каждого сценария, что часто решается методами Монте-Карло. Алгоритмы важностной выборки основаны на теореме Гирсанова, позволяя смещать распределение вероятностей в сторону интересующих событий (например, дефолтов), тем самым значительно ускоряя сходимость метода для редких событий. Понимание теоремы необходимо для разработки сложных финансовых моделей, учитывающих рыночные искажения и нетривиальную структуру премий за риск, присущую современным торговым площадкам.

Список литературы:
1. Girsanov I.V. On transforming a certain class of stochastic processes by absolutely continuous substitution of measures. — Theory of Probability and its Applications, 1960.
2. Шрив С. Стохастическое исчисление для финансов. — М.: МЦНМО, 2010.
3. Бьорк Т. Теория арбитража в непрерывном времени. — М.: МЦНМО, 2010.
Эксперты: Игорь Гирсанов, Стивен Шрив, Томас Бьорк.