Посткризисный финансовый инжиниринг: математика XVA (CVA, DVA, FVA)

Фундаментом новой архитектуры стала CVA (Credit Valuation Adjustment) — корректировка на кредитный риск контрагента. Математически CVA — это ожидаемый убыток от дефолта партнера по сделке в будущем. Формула имеет вид: $CVA = (1-R) int_0^T mathbb{E}^mathbb{Q}[EE(t)] dPD(0,t)$, где $R$ — коэффициент восстановления, $PD(0,t)$ — вероятность дефолта контрагента к моменту $t$, а $EE(t)$ (Expected Exposure) — ожидаемая положительная экспозиция портфеля. Вычисление $EE(t)$ требует симуляции рыночной стоимости всего портфеля деривативов (а не отдельных сделок, из-за эффекта неттинга) на сетке времени до погашения самой длинной сделки, что требует запуска миллионов путей Монте-Карло с вычислением цен (Pricing) в каждом узле. Эта вычислительная проблема известна как Monte Carlo on Monte Carlo.

Если CVA — это риск для нас, то DVA (Debt Valuation Adjustment) — это корректировка на наш собственный кредитный риск. Если банк близок к дефолту, стоимость его обязательств перед контрагентом падает, что, парадоксальным образом, генерирует для банка бухгалтерскую прибыль (бумажную выгоду). Формула DVA аналогична CVA, но использует нашу вероятность дефолта и Ожидаемую отрицательную экспозицию (Expected Negative Exposure). Базельский комитет признал концепцию DVA, но запретил банкам включать DVA-прибыль в расчет регуляторного капитала.

Самой математически сложной и спорной корректировкой является FVA (Funding Valuation Adjustment). Она учитывает реальную стоимость привлечения ликвидности для обеспечения деривативной позиции. Если сделка не обеспечена идеальным коллатералом (как в случае с корпоративными клиентами), банку приходится занимать наличные на межбанковском рынке (с премией к безрисковой ставке), чтобы вносить маржу на клиринговую биржу (CCP) по хеджирующей сделке. Учет стоимости фондирования превращает линейное уравнение Блэка-Шоулза в нелинейное обратное стохастическое дифференциальное уравнение (BSDE) с зависимостью дрейфа от знака текущей стоимости портфеля.

Внедрение фреймворка XVA потребовало от квантов разработки принципиально новых вычислительных методов. Вместо медленных симуляций Монте-Карло активно внедряются методы машинного обучения, такие как аппроксимация Чебышева и нейронные сети, для быстрого вычисления портфельных экспозиций в будущем. Кроме того, используются методы Алгоритмического дифференцирования (AAd) для расчета "греков" XVA по отношению к рыночным факторам. Математика XVA доказала, что на реальном рынке "закон единой цены" нарушается, и стоимость дериватива становится субъективной — она зависит от кредитного рейтинга и источников финансирования конкретного банка.

Список литературы:
1. Gregory J. The xVA Challenge: Counterparty Credit Risk, Funding, Collateral, and Capital. — Wiley, 2015.
2. Burgard C., Kjaer M. PDE representations of derivatives with bilateral counterparty risk and funding costs. — The Journal of Credit Risk, 2011.
3. Green A. XVA: Credit, Funding and Capital Valuation Adjustments. — Wiley, 2015.
Эксперты: Джон Грегори, Кристоф Бургард, Эндрю Грин.