Оценка опционов в модели Ку (Kou): двойное экспоненциальное распределение скачков

Математически модель Ку задается стохастическим дифференциальным уравнением для цены актива $S_t$: $\frac{dS_t}{S_{t-}} = (\mu - \lambda \kappa) dt + \sigma dW_t + (Y - 1) dN_t$. Здесь $W_t$ — стандартное броуновское движение, $N_t$ — пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$, а $Y$ — случайная величина, описывающая размер скачка. Фундаментальное отличие от модели Мертона кроется в распределении величины $X = \ln Y$. Стивен Ку постулировал, что $X$ имеет асимметричное двойное экспоненциальное распределение: плотность вероятности $f(x) = p \eta_1 e^{-\eta_1 x}$ при $x \ge 0$ (положительные скачки) и $f(x) = q \eta_2 e^{\eta_2 x}$ при $x < 0$ (отрицательные скачки). Параметры $p$ и $q$ ($p+q=1$) задают вероятности направления скачка, а $\eta_1 > 1, \eta_2 > 0$ управляют "хвостами" распределения.

Математическое превосходство двойного экспоненциального распределения заключается в его свойстве "отсутствия памяти" (Memoryless Property). Это свойство позволяет решать сложнейшие задачи о первом моменте достижения барьера (First Passage Time) аналитически. В то время как для модели Мертона с нормальными скачками определение вероятности того, что цена пересечет барьер, упирается в невозможность точного вычисления "перелета" (Overshoot) через барьер, в модели Ку распределение перелета строго известно — оно также является экспоненциальным. Это открывает путь к замкнутым аналитическим формулам для ценообразования барьерных опционов (Barrier Options), опционов Lookback и опционов азиатского типа с использованием преобразований Лапласа.

Ценообразование европейских ванильных опционов в модели Ку также изящно. Цена выражается в виде бесконечного ряда, включающего специальные $Hh$-функции (функции Эрмита). Этот ряд сходится намного быстрее, чем интегралы в альтернативных моделях Леви (например, Variance Gamma или CGMY), что делает калибровку модели по рыночным котировкам (Implied Volatility Surface) вычислительно сверхбыстрой. Модель Ку превосходно воспроизводит левосторонний перекос волатильности (Smirk), типичный для фондовых индексов: инвесторы боятся резких обвалов (параметр $q$ и $\eta_2$), поэтому пут-опционы "вне денег" торгуются со значительной премией.

Несмотря на свои достоинства, модель Ку, как и любая модель прыжковой диффузии конечной активности (Finite Activity), предполагает, что между редкими скачками цена движется непрерывно. Современный финансовый анализ микроструктуры рынка показывает, что цена актива меняется скачками постоянно на каждом тике. Тем не менее, для опционов с экспирацией от нескольких недель и более макроскопическая аппроксимация Ку остается одним из самых робастных, математически прозрачных и индустриально востребованных инструментов в арсенале количественного аналитика.

Список литературы:
1. Kou S.G. A Jump-Diffusion Model for Option Pricing. — Management Science, 2002.
2. Cont R., Tankov P. Financial Modelling with Jump Processes. — Chapman and Hall/CRC, 2003.
3. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. — М.: ФАЗИС, 2004.
Эксперты: Стивен Ку, Рама Конт, Питер Танков.