Минимальная энтропийная мартингальная мера (MEMM) в неполных финансовых рынках

Концепция Минимальной Энтропийной Мартингальной Меры (Minimal Entropy Martingale Measure, MEMM), предложенная Марко Фриттелли в 2000 году, базируется на минимизации Относительной энтропии (Расстояния Кульбака-Лейблера) между физической (реальной) мерой вероятностей $mathbb{P}$ и любой допустимой риск-нейтральной мерой $mathbb{Q} in mathcal{M}$, где $mathcal{M}$ — множество всех ЭММ. Математически задача оптимизации записывается как: $min_{mathbb{Q} in mathcal{M}} H(mathbb{Q} | mathbb{P})$, где относительная энтропия $H(mathbb{Q} | mathbb{P}) = mathbb{E}^mathbb{P} left[ frac{dmathbb{Q}}{dmathbb{P}} ln left( frac{dmathbb{Q}}{dmathbb{P}} ight) ight]$. Если мера $mathbb{Q}$ не абсолютно непрерывна относительно $mathbb{P}$, энтропия полагается равной бесконечности. Физический смысл этого критерия: мы ищем такую риск-нейтральную меру, которая минимально искажает исходные статистические свойства реального рынка, добавляя ровно столько "математической искусственности", сколько необходимо для соблюдения условия отсутствия арбитража.

Величайший триумф теории MEMM заключается в ее двойственности с теорией оптимального инвестирования. Математически строго доказано (в работах Дельбаена, Ружа и Эль Каруи), что минимизация относительной энтропии является двойственной (в смысле выпуклого анализа Фенхеля-Рокафеллара) к задаче максимизации ожидаемой экспоненциальной функции полезности инвестора. То есть, цена дериватива, вычисленная по мере MEMM, в точности совпадает с Ценой безразличия (Utility Indifference Price) для инвестора с экспоненциальной функцией полезности $U(x) = -e^{-gamma x}$, при условии, что он оптимально управляет своим базовым портфелем активов для хеджирования риска.

Для вычисления производной Радона-Никодима (плотности перехода) оптимальной меры $mathbb{Q}^*$ используется мощный аппарат стохастического исчисления вариаций и теории обратных стохастических дифференциальных уравнений (BSDE). В моделях стохастической волатильности (например, модели Хестона) или прыжковой диффузии плотность MEMM находится через решение систем нелинейных уравнений в частных производных (уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана), описывающих премию за риск неторгуемых факторов. Выбор MEMM позволяет алгоритмически очистить ценообразование опционов от субъективных предпочтений и свести его к строгой теоретико-информационной задаче.

Внедрение методов информационно-теоретического ценообразования в инвестиционных фондах дает количественным аналитикам (Quants) универсальный математический фреймворк. В то время как минимальная мартингальная мера (MMM) минимизирует квадратичный риск дисперсии, MEMM гарантирует, что расчетные цены не содержат ложной информации, которая не подтверждается реальными данными. Энтропийный подход стал золотым мостом, навсегда соединившим статистическую термодинамику, теорию информации и стохастическую финансовую инженерию.

Список литературы:
1. Frittelli M. The Minimal Entropy Martingale Measure and the Valuation Problem in Incomplete Markets. — Mathematical Finance, 2000.
2. Rouge R., El Karoui N. Pricing Via Utility Maximization and Entropy. — Mathematical Finance, 2000.
3. Föllmer H., Schied A. Stochastic Finance: An Introduction in Discrete Time. — De Gruyter, 2011.
Эксперты: Марко Фриттелли, Николь Эль Каруи, Ханс Фёлльмер.