Математика свопционов: моделирование форвардных ставок и формула Блэка-Шоулза

Свопцион дает покупателю право, но не обязательство, войти в процентный своп (Interest Rate Swap, IRS) в определенную дату в будущем по заранее оговоренной фиксированной ставке (страйку $K$). Существуют Payer Swaptions (право платить фиксированную ставку и получать плавающую — защита от роста ставок) и Receiver Swaptions (право получать фиксированную ставку — защита от падения). На момент исполнения опциона $T$ стоимость базового свопа математически выражается через форвардную своп-ставку $S_T$ и своп-аннуитет $A_T = sum_{i=1}^n Delta_i P(T, T_i)$, где $P(T, T_i)$ — цены бескупонных облигаций на даты платежей, а $Delta_i$ — доли года. Выплата по Payer Swaption в момент $T$ равна $A_T max(S_T - K, 0)$.

Для ценообразования свопционов финансовая инженерия применяет технику смены нумерара (Change of Numeraire). Если мы выберем аннуитет $A_t$ в качестве нумерара (единицы измерения стоимости), то по Первой фундаментальной теореме оценки активов соответствующая форвардная своп-ставка $S_t$ (которая является отношением стоимости плавающей ноги свопа к аннуитету) обязана быть мартингалом под соответствующей Своп-мартингальной мерой $mathbb{Q}^A$. То есть $mathbb{E}^A [S_T | mathcal{F}_t] = S_t$. Это элегантное преобразование позволяет постулировать логнормальную динамику $dS_t = sigma S_t dW_t^A$ без дрейфа.

Применение классической теории Блэка (1976) к этому мартингалу приводит к знаменитой Рыночной модели свопов (Swap Market Model, SMM). Цена Payer Swaption аналитически вычисляется как $A_0 (S_0 N(d_1) - K N(d_2))$. Формула Блэка для свопционов стала глобальным языком котировок (Quoting Convention). Трейдеры не торгуют ценами свопционов в долларах; они торгуют подразумеваемой волатильностью (Implied Black Volatility), извлекаемой из этой формулы. Из-за существования отрицательных ставок в Еврозоне, SMM была модифицирована в Башелье-модель (Bachelier Model) с нормальной (абсолютной) волатильностью или в Shifted-Black модель.

Оценка сложных портфелей из свопционов требует учета корреляций между различными своп-ставками. В рамках однофакторных моделей (например, однофакторной модели Халла-Уайта) европейский свопцион можно разложить в портфель опционов на бескупонные облигации с использованием Трюка Джамшидяна (Jamshidian's Trick). Джамшидян показал, что поскольку все облигации являются монотонными функциями от одной короткой ставки $r_t$, можно найти критическое значение $r^*$, при котором стоимость базового свопа равна нулю. Тогда опцион на портфель (свопцион) математически распадается на сумму опционов на отдельные облигации со страйками, зависящими от $r^*$. Эта алгебраическая редукция сокращает время расчета рисков (Греков) портфеля в сотни раз, делая внутридневной риск-менеджмент возможным.

Список литературы:
1. Jamshidian F. An Exact Bond Option Formula. — The Journal of Finance, 1989.
2. Brigo D., Mercurio F. Interest Rate Models: Theory and Practice. — Springer, 2006.
3. Халл Дж. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. — М.: Вильямс, 2018.
Эксперты: Фаршид Джамшидян, Дамиано Бриго, Джон Халл.