Ценообразование опционов на процентные ставки: модель Хо-Ли

Первоначальная математическая формулировка Хо-Ли была выполнена в дискретном времени на основе рекомбинирующего биномиального дерева (Binomial Lattice). На каждом временном шаге вся кривая дисконтных факторов (цен бескупонных облигаций) умножается на функцию возмущения. Ставка может пойти "вверх" с вероятностью $p$ (умножаясь на функцию $h(T-t)$) или "вниз" с вероятностью $1-p$ (умножаясь на функцию $h^*(T-t)$). Условие отсутствия арбитража жестко связывает функции $h$ и $h^*$. Узловые значения короткой ставки на каждом шаге $i$ и состоянии $j$ формируют решетку $r_{i,j}$. Ключевая идея Хо и Ли заключалась в том, что алгоритм может шаг за шагом настраивать базовый сдвиг дерева так, чтобы расчетная цена любой бескупонной облигации в корне дерева в точности совпадала с ее рыночной ценой на сегодняшний день.

Позже Джон Халл и Алан Уайт показали, что дискретная модель Хо-Ли имеет элегантный непрерывный предел. В стохастическом исчислении непрерывная версия модели задается дифференциальным уравнением Ито: $dr_t = heta(t) dt + sigma dW_t$. Здесь $sigma$ — это константа волатильности, описывающая абсолютные случайные изменения ставки, а $ heta(t)$ — детерминированная функция времени (дрейф). Формула для $ heta(t)$ может быть извлечена аналитически напрямую из мгновенной форвардной ставки рынка $F(0, t)$: $ heta(t) = frac{partial F(0, t)}{partial t} + sigma^2 t$. Этот результат доказал, что для безарбитражного ценообразования дрейф $ heta(t)$ полностью диктуется наклоном рыночной кривой доходности и накопленной дисперсией.

Аналитическая красота непрерывной модели Хо-Ли состоит в том, что будущая короткая ставка $r_T$ имеет гауссовское распределение. Это позволяет вывести закрытые аналитические формулы для цен бескупонных облигаций $P(t, T)$ в виде экспоненциально-аффинной функции: $P(t, T) = exp(A(t, T) - r_t(T-t))$. Наличие аналитической формулы делает возможным вычисление цен на европейские опционы на облигации (European Bond Options) с использованием формулы типа Блэка-Шоулза (решение Джемисона). Это стало гигантским шагом вперед для оценки кэпов, флоров и европейских свопционов.

Тем не менее, модель Хо-Ли обладает существенным математическим недостатком: она лишена свойства возврата к среднему (Mean Reversion). Из-за постоянной волатильности $sigma$ и отсутствия возврата, дисперсия ставки на больших горизонтах стремится к бесконечности, а теоретические форвардные ставки со временем могут стать глубоко отрицательными. Эти недочеты привели к созданию модели Халла-Уайта (введение возврата к среднему) и модели Блэка-Дермана-Тоя (введение логнормальности). Однако концептуальный прорыв Хо-Ли — использование зависящих от времени параметров для точной калибровки к рынку — навсегда изменил архитектуру количественного ценообразования деривативов.

Список литературы:
1. Ho T.S.Y., Lee S.B. Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Contingent Claims. — Journal of Finance, 1986.
2. Hull J.C. Options, Futures, and Other Derivatives. — Pearson, 2017.
3. Brigo D., Mercurio F. Interest Rate Models: Theory and Practice. — Springer, 2006.
Эксперты: Томас Хо, Санг-Бин Ли, Джон Халл.