Ценообразование азиатских опционов: математика зависящих от пути деривативов

Математическая сложность оценки азиатских опционов зависит от типа усреднения. Для опционов с непрерывным геометрическим усреднением $A_G = expleft( frac{1}{T} int_0^T ln S_t dt ight)$ существует точная аналитическая формула. Интеграл от лог-нормального процесса $S_t$ (геометрического броуновского движения) остается нормально распределенной случайной величиной. Кемна и Ворст (1990) доказали, что цена такого опциона в точности равна цене обычного европейского опциона в модели Блэка-Шоулза, но с модифицированными параметрами: волатильность уменьшается в $sqrt{3}$ раз, а стоимость фондирования корректируется с учетом дрейфа.

Однако на практике абсолютное большинство азиатских опционов использует арифметическое усреднение: $A_A = frac{1}{T} int_0^T S_t dt$ (или сумму дискретных цен закрытия $A_A = frac{1}{N} sum S_{t_i}$). Сумма или интеграл лог-нормальных величин математически не является лог-нормальной величиной, и для распределения арифметического среднего не существует замкнутого аналитического выражения. Это делает невозможным получение точной формулы Блэка-Шоулза для таких контрактов, что породило бурное развитие приближенных и численных методов финансовой математики.

Одним из самых популярных квази-аналитических подходов является Метод моментов Тернбулла-Вейкмана (Turnbull-Wakeman). Алгоритм вычисляет первые два-три математических момента истинного (неизвестного) распределения арифметического среднего, а затем аппроксимирует это распределение лог-нормальным или распределением Эджворта с совпадающими моментами. Более строгий подход основан на решении дифференциального уравнения в частных производных (PDE). Изначально уравнение содержит две фазовые переменные (текущую цену $S_t$ и текущее среднее $A_t$), но с помощью математической редукции размерности (выбора $S_t$ в качестве нумерара) Роджерс и Ши (Rogers-Shi) свели задачу к одномерному PDE, которое легко решается методом конечных разностей.

В индустриальной практике для прайсинга дискретных азиатских опционов чаще всего применяется Метод Монте-Карло. Чтобы радикально ускорить сходимость симуляций, используется техника Управляющих переменных (Control Variates). Гениальность подхода заключается в том, что аналитическая цена геометрического азиатского опциона (которую мы знаем точно) используется как управляющая переменная для оценки арифметического. Поскольку геометрическое и арифметическое средние имеют гигантскую ковариацию ($>0.99$), коррекция Монте-Карло симуляций через геометрический опцион снижает дисперсию ошибки в сотни раз, обеспечивая эталонную точность вычислений за доли секунды.

Список литературы:
1. Kemna A.G.Z., Vorst A.C.F. A Pricing Method for Options Based on Average Asset Values. — Journal of Banking & Finance, 1990.
2. Rogers L.C.G., Shi Z. The Value of an Asian Option. — Journal of Applied Probability, 1995.
3. Turnbull S.M., Wakeman L.M. A Quick Algorithm for Pricing European Average Options. — Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1991.
Эксперты: Анджелика Кемна, Тон Ворст, Стюарт Тернбулл.