Таблицы смертности и демографические модели в страховании

Структура классической таблицы смертности строится вокруг гипотетической когорты людей (обычно принимаемой за 100 000 новорожденных, обозначаемых параметром l0). Эта когорта прослеживается год за годом вплоть до ухода из жизни последнего ее представителя (предельный возраст омега, часто принимаемый за 100 или 120 лет). Для каждого точного возраста x таблица содержит ряд взаимосвязанных демографических показателей. Ключевым индикатором является вероятность умереть в течение ближайшего года (qx), которая вычисляется путем деления числа умерших в возрасте от x до x+1 на число доживших до возраста x. Производными от этой базовой вероятности являются: количество доживающих до точного возраста x (lx), число умирающих в интервале (dx) и вероятность благополучно дожить до следующего дня рождения (px). Именно эти вероятностные распределения загружаются в актуарные программные комплексы для расчета математических ожиданий денежных потоков.

Исторически актуарии стремились найти универсальную математическую формулу, способную описать кривую смертности человеческого вида. Величайшим прорывом в этой области стал закон смертности Гомпертца (1825 год), который постулировал, что сила смертности (мгновенная интенсивность умирания) возрастает с возрастом в геометрической прогрессии. Гомпертц предположил, что сопротивляемость человеческого организма разрушается с постоянной скоростью. Позже, в 1860 году, Уильям Мейкем усовершенствовал эту модель, добавив к экспоненциально растущему компоненту Гомпертца константу (фактор случайности). Закон Гомпертца-Мейкема учитывает, что часть смертей (например, от несчастных случаев или инфекций) не зависит от возраста и биологического старения человека. Этот аналитический закон позволяет актуариям виртуозно сглаживать сырые статистические данные (устраняя стохастический шум в малых выборках) и экстраполировать кривые смертности на сверхстаршие возраста (старше 90 лет), где реальной эмпирической статистики катастрофически не хватает.

В современном актуарном моделировании фундаментально различают статические (периодные) и генерационные (когортные) таблицы смертности. Статическая таблица отражает картину смертности населения в один конкретный замороженный период времени (например, срез за 1999-2000 годы). Использование статических таблиц для расчета тарифов на 40 лет вперед таит в себе колоссальную математическую угрозу, так как медицина развивается, качество жизни растет, и реальная смертность непрерывно снижается (явление mortality improvement). Для решения этой проблемы актуарии разрабатывают когортные (генерационные) таблицы, которые представляют собой не одномерный вектор, а двумерную матрицу вероятностей, зависящих как от возраста человека, так и от календарного года его рождения. В таких таблицах вероятность смерти 60-летнего человека в 2050 году закладывается значительно ниже, чем вероятность смерти 60-летнего человека в 2000 году. Построение генерационных таблиц требует применения сложных стохастических моделей прогнозирования, таких как знаменитая модель Ли-Картера (Lee-Carter Model), которая разлагает матрицу смертности на возрастной профиль и временно́й индекс общего уровня смертности.

Особую тревогу в актуарном сообществе вызывает так называемый Риск долголетия (Longevity Risk) — риск того, что люди будут жить значительно дольше, чем прогнозировалось математическими моделями в момент заключения договоров. Если для страхования на случай смерти снижение смертности выгодно страховщику (выплаты происходят позже или не происходят вовсе), то для аннуитетного бизнеса и пенсионных фондов риск долголетия является фатальным. Увеличение средней ожидаемой продолжительности жизни пенсионеров всего на два-три года способно создать многомиллиардные дефициты (Actuarial Deficits) в солидарных пенсионных системах стран Европы и Японии. Для хеджирования этого макроэкономического риска инвестиционные банки и перестраховочные общества сегодня конструируют инновационные финансовые инструменты — деривативы на смертность (Longevity Swaps и Mortality Bonds), позволяющие передать этот стохастический демографический риск на глобальные рынки капитала.