Перестрахование: эксцедент убытка, квотное перестрахование и их актуарный анализ

Математически и структурно договоры перестрахования делятся на два глобальных класса: пропорциональное (Proportional) и непропорциональное (Non-Proportional). В пропорциональном перестраховании премия и убытки делятся между прямым страховщиком (цедентом) и перестраховщиком в строго зафиксированной математической пропорции. Самым классическим примером является Квотное перестрахование (Quota Share). Если договор предусматривает 30-процентную квоту, это означает, что перестраховщик автоматически забирает 30 процентов от каждой собранной премии в портфеле и взамен оплачивает ровно 30 процентов от каждого наступившего убытка, будь то разбитое зеркало автомобиля или сгоревший торговый центр. Эта модель обладает идеальной алгебраической прозрачностью, не требует сложного андеррайтинга и обеспечивает страховщику мощную поддержку ликвидности (за счет выплаты перестраховщиком так называемой перестраховочной комиссии).

Более сложным подвидом пропорциональной защиты является Эксцедент суммы (Surplus Reinsurance). В этом договоре пропорция деления риска вычисляется индивидуально для каждого застрахованного объекта и зависит от его размера. Страховщик устанавливает для себя максимальную сумму (Собственное удержание или Retention Line), которую он готов оплатить самостоятельно. Все объекты, страховая сумма которых меньше линии удержания, остаются полностью на балансе цедента. Если страховая сумма объекта превышает удержание (например, в 4 раза), то превышение передается перестраховщику в виде «линий» (Lines). Актуарий обязан рассчитать индивидуальные коэффициенты перестрахования для тысяч полисов, гарантируя, что баланс компании будет абсолютно нечувствителен к размеру застрахованных объектов, превращая портфель разношерстных рисков в математически однородную массу.

Непропорциональное перестрахование строится на совершенно иной финансовой логике и не привязывается к страховой сумме объекта. В центре внимания здесь находится исключительно фактический размер понесенного убытка. Флагманом непропорциональной защиты является Эксцедент убытка (Excess of Loss, XL). В договоре XL страховщик устанавливает франшизу (Приоритет) — сумму, которую он оплачивает при любом убытке самостоятельно. Перестраховщик вступает в дело только тогда, когда фактический размер убытка превышает этот Приоритет, и оплачивает только ту часть убытка, которая лежит выше Приоритета (до определенного Лимита). Геометрически это означает отсечение тяжелого правого хвоста статистического распределения убытков. Договоры XL могут защищать компанию от единичного гигантского убытка (Per Risk XL) или от кумуляции множества убытков в результате одного урагана (Catastrophe XL).

Математическое ценообразование (Прайсинг) непропорциональных договоров представляет собой грандиозную алгоритмическую задачу. В отличие от квотного договора, где перестраховщик просто берет долю от брутто-премии, в договоре XL актуарию необходимо вычислить чистую рисковую премию для «хвоста» распределения. Для этого используются методы сжигания стоимости (Burning Cost Method), основанные на исторической статистике крупных убытков, проиндексированных на инфляцию, и методы кривых экспозиции (Exposure Curves), заимствованные из швейцарской актуарной школы. Кривые экспозиции задают математическое соотношение между ожидаемым процентом убытка и процентом страховой суммы, позволяя перестраховщику вычислить свой тариф даже в тех случаях, когда в исторической базе данных цедента не было ни одной катастрофы.

Венцом непропорциональной защиты является договор Стоп-лосс (Stop Loss), который защищает весь финансовый результат компании за год в целом. Перестраховщик оплачивает убытки только в том случае, если годовой коэффициент убыточности (Loss Ratio) цедента превышает определенный триггер (например, 110%). Для расчета тарифа по Стоп-лосс актуарии вынуждены моделировать распределение агрегированного (суммарного) годового убытка S(t). Так как аналитическая свертка тысяч случайных величин невозможна, применяется Рекурсия Панджера (Panjer Recursion) или Быстрое преобразование Фурье (FFT), позволяющие дискретизировать пуассоновский процесс и за доли секунды получить точную функцию распределения годовых потерь страхового портфеля, что является триумфом интеграции вычислительной математики и риск-менеджмента.