Методы MCMC в байесовском актуарном моделировании: иерархические модели убытков

Математическая архитектура иерархической байесовской модели позволяет структурировать риск на нескольких уровнях абстракции. Представим портфель ОСАГО федеральной страховой компании. На первом уровне моделируется индивидуальный водитель: частота его убытков подчиняется распределению Пуассона с индивидуальным параметром $\lambda_i$. На втором уровне все водители одного города объединяются в группу: параметры $\lambda_i$ извлекаются из гамма-распределения, среднее которого зависит от специфики этого города (качество дорог, трафик). На третьем уровне параметры городов извлекаются из глобального распределения по всей стране. Такая многоуровневая структура позволяет информации "перетекать" между уровнями. Если по новому городу почти нет статистики, модель "одолжит" информацию (Borrowing Strength) у глобального распределения, не позволяя тарифу бесконтрольно скакать, обеспечивая колоссальную статистическую робастность.

Для начисления параметров такой сложной модели и вычисления апостериорного распределения (Posterior Distribution) используется алгоритм MCMC. Суть метода заключается в создании компьютерной цепи Маркова, состояния которой представляют собой векторы всех неизвестных параметров модели (включая скрытые переменные $\lambda_i$ для каждого из миллионов клиентов). Алгоритм блуждает по этому гигантскому многомерному пространству параметров, и правила этого блуждания настроены так, чтобы алгоритм проводил больше времени в тех зонах пространства, где апостериорная вероятность параметров максимальна. Собрав миллион шагов этого блуждания, актуарий получает не просто точечную оценку тарифа (одно число), а полное эмпирическое распределение вероятностей для тарифа каждого клиента, что позволяет идеально оценить уровень неопределенности.

Наиболее популярными разновидностями MCMC в актуарной практике являются Выборка Гиббса (Gibbs Sampling) и Алгоритм Метрополиса-Гастингса. Выборка Гиббса виртуозно использует структуру иерархических моделей: вместо того, чтобы обновлять весь гигантский вектор параметров одновременно, алгоритм обновляет каждый параметр по очереди, извлекая случайное число из полного условного распределения (Full Conditional Distribution) этого параметра при условии, что все остальные параметры временно заморожены. Поскольку условные распределения в иерархических моделях часто сводятся к известным законам (за счет свойства условной независимости в направленных ациклических графах DAG), выборка Гиббса работает невероятно быстро, сводя сложнейшую нелинейную задачу к последовательности простых генераций случайных чисел.

Внедрение MCMC радикально расширило горизонты актуарного прайсинга. Актуарии больше не скованы рамками экспоненциального семейства распределений. Они могут использовать распределения Парето или Вейбулла для тяжести убытков, моделировать зависимость между частотой и тяжестью убытка (например, через копулы, встроенные внутрь байесовской сети) и внедрять экспертные знания андеррайтеров в виде априорных распределений (Prior Distributions). Более того, анализ следов марковских цепей (Trace Plots) и расчет информационного критерия отклонения (DIC - Deviance Information Criterion) позволяют объективно сравнивать конкурирующие тарифные модели. Системы MCMC (такие как STAN, JAGS или PyMC3) сегодня являются обязательным инструментом в арсенале Data-актуариев, доказывая, что стохастические вычисления способны распутать узлы неопределенности любой размерности.