Математика перестрахования катастрофических рисков: модели CAT-моделирования

Традиционная актуарная математика опирается на закон больших чисел: если у вас есть миллион полисов ОСАГО, вы можете легко предсказать общие убытки на основе опыта прошлого года. Катастрофы нарушают это правило. Разрушительное землетрясение в Токио или Сан-Франциско может случаться раз в 150 лет. Использовать статистику прошлого года для прайсинга полисов от землетрясения на следующий год математически безграмотно. Именно поэтому в 1980-х годах появились компании-разработчики CAT-моделей (RMS, AIR Worldwide, EQECAT), которые предложили подход, основанный на физическом моделировании природных явлений. Архитектура любой классической CAT-модели состоит из четырех независимых математических модулей: модуля генерации опасностей, модуля уязвимости, модуля экспозиции и финансового модуля.

Первый модуль (Hazard Module) — это гигантский стохастический генератор. Используя данные сейсмологов и метеорологов, суперкомпьютер генерирует десятки тысяч гипотетических (виртуальных) катастроф, которые могут произойти в ближайшие тысячелетия. Каждое виртуальное событие имеет точные координаты, интенсивность (например, скорость ветра 250 км/ч) и вероятность возникновения. Второй модуль (Exposure Module) представляет собой геоинформационную базу данных страховой компании. Актуарий загружает в нее координаты каждого застрахованного дома, год постройки, материал стен (дерево, кирпич, железобетон) и этажность. Третий модуль (Vulnerability Module) — это инженерные функции уязвимости. Они представляют собой нелинейные математические кривые (Damage Functions), которые показывают, какой процент от стоимости здания будет разрушен при воздействии ветра или сейсмической волны определенной интенсивности. Например, кирпичный дом при скорости ветра 150 км/ч может потерять 10% стоимости, а деревянный — 45%.

Четвертый, финансовый модуль (Financial Module), транслирует физические разрушения в чистые страховые убытки. Он накладывает на физический ущерб сложную логику страховых контрактов: франшизы, сублимиты и лимиты перестрахования. Результатом работы CAT-модели (прогона всего портфеля через 100 000 лет виртуальных катастроф) является Кривая превышения вероятностей (Exceedance Probability Curve, EP Curve). Эта кривая — священный Грааль актуария по катастрофам. По оси X на ней откладывается сумма убытка, а по оси Y — вероятность того, что годовой убыток превысит эту сумму. Из EP-кривой актуарий мгновенно получает два главных параметра для ценообразования и управления капиталом.

Первый параметр — Ожидаемый годовой убыток (Average Annual Loss, AAL). Математически это интеграл под EP-кривой. AAL представляет собой чистую рисковую премию: сумму, которую компания должна ежегодно собирать с клиентов, чтобы в долгосрочной (тысячелетней) перспективе покрыть все выплаты по катастрофам. Второй параметр — Вероятный максимальный убыток (Probable Maximum Loss, PML). Это квантиль распределения на заданном уровне доверия. Например, PML на уровне 1-в-250 лет (0.4% вероятность) показывает сумму убытка, которую компания может превысить лишь раз в два с половиной столетия. Именно значение PML определяет, какую часть риска страховая компания должна передать в Синдикаты Lloyd's или выпустить в виде катастрофических облигаций (Cat Bonds), гарантируя, что капитал акционеров выдержит удар самой яростной природной стихии.