Анализ выживаемости (Survival Analysis) в актуарной науке: модель пропорциональных рисков Кокса

Базовым непараметрическим инструментом в анализе выживаемости является оценка Каплана-Мейера (Kaplan-Meier Estimator). Этот метод позволяет построить эмпирическую кривую функции выживания $S(t)$, которая показывает вероятность того, что объект "проживет" дольше времени $t$. Алгоритм Каплана-Мейера виртуозно решает проблему цензурирования: когда клиент выходит из наблюдения (например, расторгает договор до наступления страхового случая), он просто исключается из знаменателя (группы риска) на последующих шагах, но не искажает вероятности, вычисленные для предыдущих моментов времени. Результатом работы алгоритма является ступенчатая убывающая функция, которая служит идеальной базой (baseline) для оценки исторических актуарных данных.

Однако оценка Каплана-Мейера не позволяет ответить на главный вопрос андеррайтера: как различные факторы риска (возраст, пол, курение, профессия) влияют на скорость вымирания популяции? Для введения независимых переменных (ковариат) используется Функция риска (Hazard Function, $\lambda(t)$), представляющая собой мгновенную вероятность наступления события в бесконечно малый интервал времени, при условии, что объект дожил до этого момента. Модель пропорциональных рисков Кокса (1972 год) постулирует, что функция риска любого индивида является произведением двух независимых компонентов: базовой функции риска $\lambda_0(t)$ (зависящей только от времени) и экспоненциального фактора $exp(\beta_1X_1 + ... + \beta_nX_n)$, который зависит только от характеристик (ковариат) этого индивида.

Математический гений Кокса заключается в том, что его модель является полупараметрической. Актуарию не нужно делать никаких предположений о форме базовой функции риска $\lambda_0(t)$ (она может быть совершенно любой, хоть нормальной, хоть пилообразной). Оценка параметров регрессии (коэффициентов $\beta$) осуществляется методом максимизации частичного правдоподобия (Partial Likelihood). Алгоритм игнорирует базовую функцию риска и опирается исключительно на порядок наступления событий: когда происходит смерть (или расторжение полиса), алгоритм вычисляет вероятность того, что из всех людей, подверженных риску в эту долю секунды, событие произошло именно с этим конкретным человеком.

Экспонента от коэффициента регрессии (exp($\beta$)) в модели Кокса трактуется как Отношение рисков (Hazard Ratio, HR). Если HR для фактора "курение" равно 2.5, это строго математически означает, что в любую секунду времени риск смерти курящего клиента в 2.5 раза выше риска смерти некурящего с аналогичными прочими параметрами. Это допущение о "пропорциональности" (риски идут параллельно и их отношение постоянно во времени) является фундаментальным. Актуарии используют модель Кокса не только для тарификации страхования от критических заболеваний, но и для моделирования поведения клиентов: выявления факторов, которые провоцируют досрочные расторжения дорогих накопительных полисов (Lapse Risk), позволяя корпорациям целенаправленно удерживать самые прибыльные сегменты портфеля.