2. Непрерывные функции
2.1
Непрерывность
функции
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .
Более подробно это расшифровывается следующим образом:
1. .
2. . Другими словами, непрерывная функция характеризуется
тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.
3. Обозначим (приращение
аргумента) и (приращение
функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при также и , то есть
бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое
приращение функции.
Определение
2. Функция f(x)
называется непрерывной на множестве Х,
если она непрерывна в каждой точке этого множества.
2.2
Разрывы функции
Определение. Точки, где функция
f(x) не является непрерывной, называются точками разрыва функции f(x).
Для классификации точек разрыва рассмотрим предел слева и предел справа
функции f(x). Тогда имеет место следующая классификация точек
разрыва.
1. Устранимый разрыв.
Он
имеет место, когда выполнено условие
.
В данном случае достаточно изменить
значение функции в точке x0, чтобы
разрыва не стало.
Рис. 2.1 Вид устранимого разрыва
2. Разрыв
первого рода (скачок).
Разрыв первого рода (скачок) получается
тогда, когда односторонние пределы и существуют,
конечны, но не равны между собой, то
есть .
Вид функции в случае разрыва первого
рода приведен на рис. 2.2.
Рис. 2.2 Вид разрыва первого рода.
3. Разрыв второго рода.
Если
хотя бы один из и равен ±¥ или
не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в
точке x0 разрыв второго рода.
Вид разрывов второго рода очень
разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен
случай, когда f(x0 –
0) конечен, а f(x0 +
0) равен +¥.
Рис. 2.3. Пример разрыва второго рода.
2.3
Свойства
непрерывных функций
Теорема. Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то в этой
же точке непрерывны и функции f(x) ± g(x), f(x) × g(x) и f(x)/g(x) (последнее только в случае, если g(x0)¹0).
Определение. Пусть y = f(x) и x = j(t). Тогда комбинация y =
f(j(t)) называется суперпозицией
функций f(x) и j(t), или сложной функцией.
Теорема о непрерывности
сложной функции.
Пусть x = j(t) непрерывна в точке t0, а функция f(x) непрерывна в точке x0 = j(t0).
Тогда функция y = f(j(t)) непрерывна в точке t0.
Короче говоря, суперпозиция
непрерывных функций есть также непрерывная функция.
2.4
Теоремы
о непрерывных функциях
Ниже приводятся формулировки основных теорем о непрерывных функциях.
Первая теорема Больцано-Коши.
Пусть f(x)
определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку
значения. Тогда такая, что f(c) = 0.
Вторая теорема Больцано-Коши.
Пусть f(x)
определена и непрерывна на отрезке и , . Тогда .
Первая теорема Вейерштрасса.
Пусть f(x)
определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда существуют конечные
m и M такие, что .
Другими словами, функция, непрерывная на замкнутом отрезке, ограничена на
этом отрезке и сверху и снизу.
Вторая теорема Вейерштрасса.
Пусть f(x)
определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда , такие, что , .
Другими словами, непрерывная функция, определенная на замкнутом отрезке,
достигает в нем своих супремума и инфимума.
2.5
Обратная
функция
Пусть функция f(x)
определена на отрезке [a, b] и
ее значения принадлежат отрезку [c, d]. Если (символ читается
«существует одно и только одно») такое, что y = f(x), то говорят, что на отрезке [c, d] определена функция , обратная к
функции f(x).
Только обычно при записи обратной функции меняют местами переменные x и y и записывают ее в обычной форме .
Основное свойство обратной функции имеет вид
.
Теорема.
Пусть f(x) строго
монотонно возрастает и непрерывна на [a, b]. Тогда
на интервале [c, d], где c=f(a), d=f(b) существует
непрерывная строго монотонно
возрастающая обратная функция .
2.6
Замечательные
пределы
С использованием непрерывности функций можно вывести целый ряд пределов,
которые получили общее название замечательных пределов. Ниже приводятся
наиболее важные из них.
1. .
2.
3. .
4. .
5. .
6. при a>1 и m>0.
7. при a>1 и m>0.
8. при a>1 и m>0.
|