Allmath.ru

Вся математика в одном месте!

 

 

 

 



Rambler's Top100


Математический анализ - лекции (СОДЕРЖАНИЕ)

 2. Непрерывные функции

2.1                 Непрерывность функции

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если .

Более подробно это расшифровывается следующим образом:

1. .

2. . Другими словами, непрерывная функция характеризуется тем свойством, что можно менять местами знак функции и знак предела.

3. Обозначим  (приращение аргумента) и  (приращение функции). Тогда непрерывная функция характеризуется тем свойством, что при   также и  , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

         Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

2.2                 Разрывы  функции

Определение. Точки, где функция f(x) не является непрерывной,  называются точками разрыва функции f(x).

Для классификации точек разрыва рассмотрим предел слева  и предел справа  функции f(x). Тогда  имеет место следующая классификация точек разрыва.

1. Устранимый разрыв.

         Он имеет место, когда выполнено условие

.

         В данном случае достаточно изменить значение функции в точке x0, чтобы разрыва не стало.

Рис. 2.1 Вид устранимого разрыва

         2. Разрыв первого рода (скачок).

         Разрыв первого рода (скачок) получается тогда, когда односторонние пределы  и  существуют, конечны, но не равны между собой, то есть .

         Вид функции в случае разрыва первого рода приведен на рис. 2.2.

Рис. 2.2 Вид разрыва первого рода.

3. Разрыв второго рода.

         Если хотя бы один из  и  равен ±¥ или не существует, то говорят, что функция f(x) имеет в точке x0 разрыв второго рода.

         Вид разрывов второго рода очень разнообразен. Пример такого разрыва приведен на рис. 2.3. На нем изображен случай, когда f(x0 – 0) конечен, а f(x0 + 0) равен +¥.

Рис. 2.3. Пример разрыва второго  рода.

2.3                 Свойства непрерывных функций

Теорема. Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x0, то в этой же точке непрерывны и функции f(x) ± g(x), f(x) × g(x) и f(x)/g(x) (последнее только в случае, если g(x0)¹0).

Определение. Пусть y = f(x) и x = j(t). Тогда комбинация y = f(j(t)) называется суперпозицией функций f(x) и j(t), или сложной функцией.

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть x = j(t) непрерывна в точке t0, а функция f(x) непрерывна в точке     x0 = j(t0). Тогда функция y = f(j(t)) непрерывна в точке t0.

Короче говоря, суперпозиция непрерывных функций есть также непрерывная функция.

2.4                 Теоремы о непрерывных функциях

Ниже приводятся формулировки основных теорем о непрерывных функциях.

Первая теорема Больцано-Коши.

Пусть f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения. Тогда  такая, что f(c) = 0.

Вторая теорема Больцано-Коши.

Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке  и , . Тогда .

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда существуют конечные m и M такие, что .

Другими словами, функция, непрерывная на замкнутом отрезке, ограничена на этом отрезке и сверху и снизу.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда , такие, что , .

Другими словами, непрерывная функция, определенная на замкнутом отрезке, достигает в нем своих супремума и инфимума.

2.5                 Обратная функция

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b] и ее  значения принадлежат отрезку [c, d]. Если  (символ  читается «существует одно и только одно») такое, что y = f(x), то говорят, что на отрезке [c, d] определена функция , обратная к функции f(x).

Только обычно при записи обратной функции меняют местами переменные x и y и записывают ее в обычной форме .

Основное свойство обратной функции имеет вид

.

         Теорема. Пусть f(x) строго монотонно возрастает и непрерывна на [a, b]. Тогда на интервале [c, d], где c=f(a), d=f(b) существует непрерывная строго монотонно возрастающая обратная функция .

2.6                 Замечательные пределы

С использованием непрерывности функций можно вывести целый ряд пределов, которые получили общее название замечательных пределов. Ниже приводятся наиболее важные из них.

1. .

2. 

3. .

4. .

5. .

6.   при a>1  и  m>0.

7.   при a>1  и  m>0.

8.   при a>1  и  m>0.


Хотите публиковаться на портале? Присылайте свои предложения, книги, статьи на info@allmath.ru.

[Школьная математика][Высшая математика][Прикладная математика][Олимпиадная математика][Услуги][Лучшие книги][Ссылки]

 

Copyright (c) 2004, Allmath.ru. e-mail: info@allmath.ru