§4. Теория сравнений

Пункт 22. Сравнения второй степени. Символ Лежандра.

В этом пункте мы будем подробно рассматривать простейшие двучленные сравнения второй степени вида

x 2 є a (mod p ),

где а и р взаимно просты, а р - нечетное простое число. (Традиционная фраза “нечетное простое число”, на мой взгляд, несколько странновата. Глядя на нее, можно подумать, что четных простых чисел - пруд пруди, а она, всего-навсего, убирает из рассмотрения только число р =2.) Обратите внимание, что условие взаимной простоты ( а, р )=1 исключает из нашего рассмотрения случай а =0.

Почему мы хотим исключить из дальнейших рассмотрений эти случаи? Нас будет интересовать вопрос, при каких а простейшее двучленное сравнение второй степени имеет решение, а при каких – не имеет. Ясно, что сравнение x 2 є a (mod 2) имеет решение при любых а , т.к. вместо а достаточно подставлять только 0 или 1, а числа 0 и 1 являются квадратами. Именно поэтому случай р =2 не представляет особого интереса и выводится из дальнейшего рассмотрения вышенаписанной странноватой фразой.

(Искушенный алгебраист объяснил бы эту ситуацию так: - всякий элемент любого поля характеристики 2 является квадратом, т.к. отображение x ® x 2 есть автоморфизм такого поля.)

Что касается сравнения x 2 є 0(mod p ), то оно, очевидно, всегда имеет решение х =0. Итак, интерес представляет только ситуация с нечетным простым модулем и а № 0, поэтому далее мы будем трудиться только в рамках оговоренных ограничений.

Определение. Если сравнение x 2 є a (mod p ) имеет решения, то число а называется квадратичным вычетом по модулю р . В противном случае, число а называется квадратичным невычетом по модулю р .

Чтобы понять явление, надо сделать на него пародию. Всю стилистическую прелесть подобного определения (между прочим, общепринятого) и, в особенности, очарование содержащегося в нем термина “невычет” (в слитном написании), поможет прочувствовать аналогичная дефиниция: маленькое и жесткое хлебобулочное изделие тороидальной формы называется сушка. В противном случае, оно называется несушка. Впрочем, стилистических казусов в традиционной математической терминологии довольно много, например: нормальная подгруппа – ненормальная подгруппа, невязка – вязка и т.п.

Итак, если а – квадрат некоторого числа по модулю р , то а -“квадратичный вычет”, если же никакое число в квадрате не сравнимо с а по модулю р , то а - “квадратичный невычет”. Смиримся с этим.

Пример. Число 2 является квадратом по модулю 7 , т.к.

4 2 є 16 є 2(mod7). Значит, 2 - квадратичный вычет. (Сравнение x 2 є 2(mod7) имеет еще и другое решение: 3 2 є 9 є 2(mod7).) Напротив, число 3 является квадратичным невычетом по модулю 7 , т.к. сравнение x 2 є 3(mod7) решений не имеет, в чем нетрудно убедиться последовательным перебором полной системы вычетов: x = 0,1,2,3,4,5,6.

Простое наблюдение: Если а - квадратичный вычет по модулю р , то сравнение x 2 є a (mod p ) имеет в точности два решения. Действительно, если а - квадратичный вычет по модулю р , то у сравнения x 2 є a (mod p ) есть хотя бы одно решение x є x 1 (mod p ). Тогда x 2 = - x 1 – тоже решение, ведь (- x 1 ) 2 =x 1 2 . Эти два решения не сравнимы по модулю р >2 , так как из x 1 є - x 1 (mod p ) следует 2 x 1 є 0(mod p ), т.е. (поскольку р № 2) x 1 є 0(mod p ), что невозможно, ибо а № 0.

Поскольку сравнение x 2 є a (mod p ) есть сравнение второй степени по простому модулю, то больше двух решений оно иметь не может (см. пункт 20, лемма 2).

Еще одно простое наблюдение: Приведенная (т.е. без нуля) система вычетов

– p-1
2		,...,-2,-1,1,2,...,p-1
2

по модулю р состоит из ( p -1)/2 квадратичных вычетов, сравнимых с числами 1 2 ,2 2 ,…,(( p -1)/2) 2 , и ( p -1)/2 квадратичных невычетов, т.е. вычетов и невычетов поровну.

Действительно, квадратичные вычеты сравнимы с квадратами чисел

– p-1
2		,...,-2,-1,1,2,...,p-1
2

т.е. с числами 1 2 ,2 2 ,…,(( p -1)/2) 2 , при этом все эти квадраты различны по модулю р , ибо из k 2 є l 2 (mod p ), где 0< k < l Ј ( p -1)/2, следует, что нетривиальное сравнение x 2 є k 2 (mod p ) имеет аж четыре решения: l, –l, k, –k , что невозможно (см. пункт 20, лемма 2).

(Искушенный алгебраист опять-таки сказал бы больше: - квадраты (исключая 0) любого поля конечной характеристики, большей двух, образуют подгруппу индекса 2 мультипликативной группы этого поля. Эта подгруппа есть ядро эндоморфизма x ® x ( p -1)/2 . Если есть желание, проверьте это утверждение самостоятельно. )

Согласитесь, что фраза “ Число а является квадратичным вычетом (или невычетом) по модулю р “ несколько длинновата, особенно если ее приходится часто употреблять при доказательстве какого-либо утверждения. В свое время божественная длиннота этой фразы тревожила и знаменитого французского математика Адриена-Мари Лежандра (того самого, который имеет прямое отношение к ортогональным полиномам и многим другим математическим открытиям, но, по-видимому, не имеет никакого отношения к развитию футбола в странах Карибского бассейна). Он предложил изящный выход, введя в рассмотрение удобный символ ( a / p ), заменяющий длинную фразу. Этот символ носит теперь фамилию Лежандра и читается: “символ Лежандра а по пэ”.

Определение. Пусть а не кратно р . Тогда символ Лежандра определяется как:

если а - квадратичный вычет по модулю р .

если а - квадратичный невычет по модулю р .

Оказывается, что символ Лежандра есть не просто удобное обозначение. Он имеет много полезных свойств и глубокий смысл, уходящий корнями в теорию конечных полей. Далее в этом пункте мы рассмотрим некоторые простейшие свойства символа Лежандра и, прежде всего, научимся его вычислять ( т.е. , тем самым, научимся отвечать на вопрос, проставленный в начале пункта: при каких а простейшее двучленное сравнение второй степени имеет решение, а при каких – не имеет ? ).

Теорема. (Критерий Эйлера) Пусть а не кратно р . Тогда:

a ( p -1)/2 є ( a / p )(mod p ).

Доказательство. По теореме Ферма, a p -1 є 1(mod p ) т.е.

. В левой части последнего сравнения в точности один сомножитель делится на р , ведь оба сомножителя на р делиться не могут, иначе их разность, равная двум, делилась бы на р >2. Следовательно, имеет место одно и только одно из сравнений:

a ( p -1)/2 є 1(mod p )

a ( p -1)/2 є -1(mod p )

Но всякий квадратичный вычет а удовлетворяет при некотором х сравнению a є x 2 (mod p ) и, следовательно, удовлетворяет также получаемому из него почленным возведением в степень ( p -1)/2 сравнению

a ( p -1)/2 є x p-1 є 1(mod p ) (опять теорема Ферма). При этом, квадратичными вычетами и исчерпываются все решения сравнения

a ( p -1)/2 є 1(mod p ), т.к., будучи сравнением степени ( p -1)/2, оно не может иметь более ( p -1)/2 решений. Это означает, что квадратичные невычеты удовлетворяют сравнению a ( p -1)/2 є -1(mod p )

Ё

(Свойство a ( p -1)/2 є ( a / p )(mod p ), даваемое критерием Эйлера, можно было бы сразу принять за определение символа Лежандра, показав, конечно, предварительно, с помощью теоремы Ферма, что a ( p -1)/2 є ± 1(mod p ) Именно так частенько и поступают в книжках по теории конечных полей.)

Пример. Крошка-сын к отцу пришел, и спросила кроха: “Будет ли число 5 квадратом по модулю 7 ?”. Гигант-отец тут же сообразил:

5 (7-1)/2 =5 3 =125=18 Ч 7-1 є -1(mod7),

т.е. сравнение x 2 є 5(mod7) решений не имеет и 5 - квадратичный невычет по модулю 7. Кроха-сын, расстроенный, пошел на улицу делиться с друзьями полученной информацией.

Перечислим далее, кое-где доказывая или комментируя, простейшие свойства символа Лежандра.

Свойство 1. Если a є b (mod p ), то ( a / p )=( b / p ).

Это свойство следует из того, что числа одного и того же класса по модулю р будут все одновременно квадратичными вычетами либо квадратичными невычетами.

Свойство 2. (1/ p )=1.

Доказательство очевидно, ведь единица является квадратом.

Свойство 3.
.

Доказательство этого свойства следует из критерия Эйлера при а =-1. Так как ( p -1)/2 – четное, если р вида 4 n +1, и нечетное, если р вида 4 n +3, то число -1 является квадратичным вычетом по модулю р тогда и только тогда, когда р вида 4 n +1.

Свойство 4.
.

Действительно,
. Cвойство 4, очевидно, распространяется на любое конечное число сомножителей в числителе символа Лежандра, взаимно простых с р . Кроме того, из него следует

Свойство 5. , т.е. в числителе символа Лежандра можно отбросить любой квадратный множитель. Действительно:

Запомним хорошенько эти пять перечисленных простейших свойств символа Лежандра и устремимся дальше, в пункт 23, где нам раскроются свойства более сложные и глубокие, поразительные и загадочные. Вперед!

Задачки

1. Среди вычетов приведенной системы по модулю 37 укажите квадратичные вычеты и квадратичные невычеты.

2. Посчитайте символ Лежандра, умело пользуясь его свойствами:
а) (20/7); б) (200/43); в) (1601600/839).

3. С помощью критерия Эйлера установите, имеет ли решение сравнение x 2 є 5(mod13)?

4. С помощью символа Лежандра установите, имеют ли решения сравнения:
а) x 2 є 22(mod13);
б) x 2 є 239(mod661);
в) x 2 є 412(mod421) ?

5. Решите сравнения:
а) x 2 є 7(mod137);
б) x 2 є 23(mod101).

6. Докажите, что:
а) сравнение x 2 +1 є 0(mod p ) разрешимо тогда и только тогда, когда р - простое число вида 4 m +1;
б) сравнение x 2 +2 є 0(mod p ) разрешимо тогда и только тогда, когда р - простое число вида 8 m +1 или вида 8 m +3;
в) сравнение x 2 +3 є 0(mod p ) разрешимо тогда и только тогда, когда р - простое число вида 6 m +1.

7. Умело используя теорему Вильсона, докажите, что решениями сравнения x 2 +1 є 0(mod p ), где р - простое число вида 4 m +1, являются числа x 1,2 є ± (2 m )!(mod p ) и только они.

8. Докажите, что сравнение x 2 є a (mod p a ), где a >1, р >2, имеет два решения или же ни одного, в зависимости от того, будет ли число а квадратичным вычетом или же невычетом по модулю р .

9. Исследуйте самостоятельно сравнение вида x 2 є a (mod2 a ), a >1.
При каких условиях на числа а и a это сравнение имеет решения и сколько оно их имеет? Найдите эти решения.

10. Докажите, что решениями сравнения x 2 є a (mod p a ), где ( a , p )=1, р >2, будут числа x є ± PQN (mod p a ), где

11. Докажите, что число различных разложений натурального числа n на сумму квадратов двух целых чисел равно учетверенному избытку числа делителей n вида 4 k +1 над числом делителей вида 4 k +3 . * )