1.3.1. Множество Q
Z,
N
всех рациональных
чисел (дробей), где
1.3.2. Любое множество k, для которого
определены операции
сложения и умножения, называется полем, если эти операции
удовлетворяют законам, перечисленным в пункте 1.3.1, то есть
законам:
(ЗС) если ,
то
(замкнутость k относительно сложения);
(ЗУ) если ,
то
(замкнутость k относительно умножения);
(АС) если
,
то
(x+y)+z = x+(y+z)
(ассоциативность сложения в k);
(АУ) если
,
то
(xєy)єz = xє(yєz)
(ассоциативность умножения в k);
(КС) если ,
то x+y = y+x
(коммутативность сложения в k);
(КУ) если ,
то xєy = yєx
(коммутативность умножения в k);
(ЛД) если
,
то
x(y+z) = xy+xz
(левая дистрибутивность);
(ПД) если
,
то
(x+y)z = xz+yz
(правая дистрибутивность);
(СН) В k существует нулевой элемент,
то есть такой элемент
,
что для любого
имеет место равенство:
1.3.3. Легко проверить, что множество
R вещественных
(действительных) чисел относительно обычных операций сложения и
умножения вещественных чисел является полем.
Это множество часто отождествляют с множеством точек
числовой прямой (числовой оси), то есть прямой, для которой
указано положительное направление, на которой отмечен отрезок
единичной длины и зафиксирована точка 0. При этом вещественное
число x отождествляется с точкой X числовой оси, находящейся на
расстоянии
от точки 0. Точка X находится в положительном
направлении от 0, если ,
и в отрицательном, если x < 0.
В отличие от поля Q, поле R замкнуто
относительно
извлечения корней натуральной степени из положительных элементов, то
есть
для любого положительного
R и любого
N в R
есть элемент
x, для
которого xn = a.
1.3.4. Еще один пример поля представляет множество
F ,
состоящее из двух элементов n и e, сложение и умножение которых
задается следующими таблицами:
1.3.5. Упражнение. Написать таблицы сложения и
умножения для
полей, состоящих из 3, 4 и 5 элементов.
1.3.6. Задача. Доказать, что нет поля, состоящего
из 6
элементов.
1.3.7. Упражнение. Доказать, что множество
Q
Q
является полем относительно обычных операций сложения и
умножения чисел, содержит Q, содержится в
R
, но не совпадает ни
с Q, ни с R.
1.4. Поле комплексных чисел
Рассмотрим плоскость с декартовой системой
координат. Ось
абсциисс отождествим с числовой осью. Тогда любую точку
плоскости можно задать координатами этой точки, то есть
упорядоченной парой (a,b) вещественных чисел. При этом пара
(a,0) есть вещественное число a числовой оси. Обозначим
множество всех точек нашей плоскости через C. Таким образом,
C
R.
Определим на C операции сложения и умножения равенствами
1.4.1. Теорема. C -- поле относительно этих
операций, содержащее
поле R вещественных чисел. В
C
есть элемент i, для которого
i2 =-1. Любой элемент из C представим в виде
a+bi, где R.
Доказательство. Непосредственно проверяются свойства поля.
В частности, нулем поля служит (0,0), то есть вещественное
число 0, противоположный элемент -(a,b) равен (-a,-b), единица
поля равна точке (1,0) -- вещественному числу 1, обратный
элемент к элементу
равен
Кроме того, на элементах числовой оси сложение и
умножение, определенное в C, совпадает с обычным сложением и
умножением вещественных чисел, и имеет место равенство
a(c,d) =
(ac,ad), если a -- любое вещественное число.
Положим i=(0,1). Тогда i2 = -1 и
(a,b) = a+bi.
Теорема доказана.
1.4.2. Множество C с определенными выше
операциями сложения и
умножения называется полем комплексных чисел, его элементы
называются комплексными числами, элемент i --мнимой единицей, а
ось ординат, то есть множество R
R -- мнимой
осью. Ось абсцисс (числовую ось) называют вещественной
(действительной) осью. Для комплексного числа
(a,b)=a+bi вещественное
число a называется вещественной частью этого комплексного
числа, а вещественное число b -- его мнимой частью.
1.4.3. Число
называется
числом, комплексно сопряженным
с z = a+bi.
Для комплексно сопряженных чисел всегда выполнены
равенства
1.4.4. Угол между положительным направлением
действительной оси
и отрезком, соединяющим начало координат с точкой
(a,b)
называется аргументом комплексного числа
a+bi. Для 0 аргумент
не определяется, а для остальных комплексных чисел он определен
с точностью до величины, кратной полному обороту окружности.
Если
-- аргумент комплексного числа
z = a+bi
, то
, то есть
. Такая форма
записи комплексного числа называется его тригонометрической
формой .
Модуль и аргумент комплексного числа однозначно определяют
это число. Если модуль числа равен 0, то число равно 0. Два
ненулевых комплексных числа равны, если их модули совпадают, а
разность их аргументов равна
для некоторого
Z
.
1.4.5. Если аргументы чисел z1 и z2 равны
и
, то
1.4.6. Упражнение. Доказать, что все корни уравнения
zn = 1
расположены на комплексной плоскости в вершинах правильного
n-угольника, вписанного в единичную окружность, одна из вершин
которого находится в точке (0,1).
1.4.7. Любое подмножество
C, являющееся полем относительно
заданных выше в C операций сложения и умножения, называется
числовым полем.
Упражнения. а) Доказать, что любое числовое
поле, содержащее
R
совпадает с R или с C.
б) Доказать, что Q
Q
является числовым
полем, не содержащимся в R и не совпадающим с
C.
и дробь n/1 отождествляется с числом n, содержит Z
в качестве
собственного подмножества. Так же как и в Z, сложение и
умножение в Q обладает перечисленными выше свойствами
замкнутости, ассоциативности, коммутативности, выполнены
свойства существования нуля и противоположного элемента. Кроме
того, для ненулевых рациональных чисел операция умножения
обладает свойством, аналогичным существованию противоположного
элемента для сложения, а именно, свойством
(СО) если
Q, ,
то существует
такой элемент
Q, что
(существование обратного элемента ).
Ясно, что таким обратным элементом для a = p/q служит
x =
1/a = a = q/p.
(существование нуля).
Этот элемент обозначается знаком 0.
(СЕ) В k существует единичный
элемент, то есть
такой
элемент ,
отличный от 0, что для любого
имеет место
равенство:
(существование единицы).
Этот элемент обозначается знаком 1.
(СП) Для любого элемента
найдется такой
элемент
,
что
(существование противоположного элемента).
Этот элемент записывается как -a.
(СО) Если
,
то существует
такой элемент
,
что
(существование обратного элемента).
Этот элемент x записывается как a-1 или как 1/a.
Таким образом, в любом поле, как и в поле Q рациональных
чисел, можно неограниченно складывать, вычитать и умножать
элементы, а также делить на ненулевые элементы. Всегда в
результате получится некоторый элемент этого поля.
Кратко можно сказать, что поле -- это коммутативное кольцо
с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
Таким образом, Q -- поле (поле рациональных чисел).
+
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
e
e
n
n
n
n
Кроме того, если z = a+bi, то
.
Арифметический квадратный корень из
называется модулем
комплексного числа z и обозначается через
.
Таким образом,
и
Кроме того,
Модуль числа
z = a+bi
равен расстоянию от точки
z =(a,b)
до начала координат. Поэтому
Для точек вещественной оси наше определение модуля
совпадает с обычным определением абсолютной величины
вещественного числа.
и, в частности, аргумент произведения равен
сумме аргументов
сомножителей.
Из этого равенства вытекает, что для
N
откуда вытекает, что уравнение
при заданном комплексном числе
имеет в
C
ровно n решений
где r -- арифметический корень степени n из
,
а
.
Эти формулы для извлечения корней из комплексных
чисел иногда называют формулами Муавра.