Для начала введем терминологию, а заодно сравним ориентированные и неориентированные графы гносеологически, представив параллельные места билингвой - в виде следующей таблицы. Орграф здесь и далее - ориентированный граф.
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

Пусть D = (V, A) - орграф	Пусть G = (V, E) - граф
Путь в D - последовательность вершин и дуг u1, a1, u2, a2,..., ut, at, ut+1 , где tЁ 0, причем каждая вершина ui О V, а каждая дуга ai О A, и ai всегда является дугой (ui, ui+1). Путь обычно записывается последовательностью вершин u1, u2, ..., ut, ut+1.	Цепь в G - последовательность вершин и ребер u1, e1, u2, e2,..., ut, et, ut+1, где tЁ 0, причем каждая вершина ui О V, а каждое ребро ei О E, и ei всегда является ребром (ui, ui+1). Цепь обычно записывается последовательностью вершин u1, u2, ..., ut, ut+1. Цепь = маршрут без повторений (каждое ребро проходится лишь один раз).
Полупуть в D - последовательность вершин и дуг u1, a1, u2, a2,..., ut, at, ut+1, где tЁ 0, причем каждая вершина ui О V, а каждая дуга aiО A, и ai всегда является либо дугой (ui, ui+1), либо дугой (ui+1, ui). Полупуть также обычно записывается последовательностью вершин u1, u2, ..., ut, ut+1.	Аналогия - та же цепь (см. Выше)   В определении полуцепи нет смысла - полуцепь всегда совпадает с соответствующей цепью.
Полный путь или полный полупуть в D - путь или полупуть, проходящий через все вершины D.	Полная цепь или полная полуцепь в G - цепь или полуцепь, проходящая через все вершины G.
Простым путем или простым полупутем в D называется путь или полупуть без повторяющихся вершин.	Простой цепью в G называется цепь без повторяющихся вершин.
Замкнутым путем или полупутем в D называется путь или полупуть u1, a1, u2, a2,..., ut, at, ut+1, в котором ut+1=u1.	Замкнутой цепью в G называется цепь u1, u2, ..., ut, ut+1, в которой ut+1=u1.
Полный замкнутый путь или полный замкнутый полупуть в D - полный путь или полный полупуть, который замкнут.	Полная замкнутая цепь в G - полная цепь, которая замкнута.
Контуром в D называется замкнутый путь u1, u2, ..., ut, u1, в котором все вершины различны.	Циклом в G называется замкнутая цепь u1, e1, u2, e2,..., ut, et, u1 , в которой все вершины различны.
Полуконтуром в D называется замкнутый полупуть, u1, a1, u2, a2,..., ut, at, u1, в котором все вершины u1, u2, ..., ut и все дуги a1, a2,..., at различны.	Аналогия - тот же цикл (см. Выше)   В определении полуцикла нет смысла - полуцикл всегда совпадает с соответствующим циклом.
Вершинаui, достижима из вершины uj, если имеется путь из ui в uj.	Вершинаui, достижима из вершины uj, если имеется соединяющая их цепь.
Вершиныui и uj соединимы, если имеется путь из вершины ui в вершину uj или из вершины uj в вершину ui.	Вершиныui и uj соединимы, если имеется соединяющая их цепь.
Длиной пути, полупути, простого пути, простого полупути, контура или полуконтура называется число дуг, содержащихся в них.	Длиной цепи, простой цепи или цикла называется число ребер, содержащихся в них.
Расстояние d(ui, uj) от вершины ui и до вершины uj в D равно длине кратчайшего пути из ui в uj или не определено, если путь из ui в uj отсутствует. Во взвешенном графе длиной и расстоянием обычно называют S с учетом веса (S весов).	Расстояние d(ui, uj) от вершины ui и до вершины uj в G равно длине кратчайшей цепи между ui и uj или не определено, если цепь между ними отсутствует.

 

 
 
 
 
 
 
 
 

Пусть D=(V, A) - орграф	Пусть G=(V, E) - граф
Орграф D называется сильно связным (сильным, категории связности 3), если для каждой пары вершин ui и uj в Dui достижима из ujи ui достижима из ui.	Граф G называется связным, если каждая пара вершин ui и uj в Gсвязана цепью.
Орграф D называется слабо связным (слабым, категории связности 1), если каждая пара вершин ui и uj в D соединима (полупутем).	Аналогия - см. выше
Орграф D называется односторонне связным (односторонним, категории связности 2), если для каждой пары вершин ui и ujв D либо ui достижима из uj , либо uj достижима из ui .	Аналогия - см. выше
Подграфом в D называется орграф (W, B), в котором W Н V, B Н A.	Подграфом в G называется граф (W, F), в котором W Н V, F Н E.
Порожденным подграфом в D называется подграф (W, B), в котором B содержит все дуги из A, соединяющие вершины в W.	Порожденным подграфом в G называется подграф (W, F), в котором F содержит все ребра из E, соединяющие вершины в W.
Сильной компонентой в D называется максимальный сильно связный (порожден-ный) подграф.	Компонентой (связности) в G называется максимальный связный (порожденный) подграф.

 

Взвешенный граф, взвешенный орграф - граф (орграф), каждому ребру которого приписан некоторый вес.

Знаковый граф, знаковый орграф - граф (орграф), каждому ребру которого приписан некоторый знак.

Знак пути, цепи, замкнутого пути, замкнутой цепи, контура, цикла и т.д. определяется как произведение знаков входящих в них дуг или ребер, если знак плюс заменить на +1, а знак минус на -1. Очевидно, что путь, цепь и т.д. имеют знак минус, если число дуг или ребер, содержащихся в них, нечетно, иначе они имеют знак плюс.

Хейдер изучал задачи из области социологии малых групп людей (Heider F. Attitudes and Cognitive Organization. - J. of Phych., 21, 1946, p. 107-112).

Его результаты - полный обзор вариантов знаковых графов для группы из трех человек в условиях явно выраженной выраженной симпатии / антипатии представлены на рисунках.

Группы из трех лиц по Хейдеру психологически

сбалансированные

несбалансированные

Анализ этого и огромного количества других примеров из самых разных областей человеческой деятельности привел Картрайта и Харари (Cartwright D. and Harary F. Structural Balance: A Generalization of Heider's Theory. - Psych. Rev., 63, 1956, p. 277-293) к следующей математической модели баланса:

Малая группа является сбалансированной, если представляющий ее знаковый граф сбалансирован.

Знаковый граф называется сбалансированным, если каждый цикл в нем положителен.
 
 

Для знакового графа G=(V,E) следующие утверждения эквивалентны:

1. Граф G сбалансирован.
2. Каждая замкнутая цепь в G положительна.
3. Любые две цепи между любыми двумя вершинами u_i и u_j имеют одинаковый знак.
4. Множество вершин V можно разбить на два подмножества A и B так, что каждое положительное ребро соединяет вершины одного подмножества и каждое отрицательное соединяет вершины различных подмножеств.

Для пункта d существует интерпретация и в области политики - устойчивым является представительный орган, основанный на одно- или двухпартийной основе (внутри фракции существуют отношения ╚симпатии╩ , а соответствующие отношения между представителями разных фракций отрицательны). Кемени и Снелл высказали предположение, что многопартийный французский парламент 1950-х годов был несбалансирован именно по причине несоответствия критерию баланса по Харари (Kemeny J.G., Snell J.L. Mathematical Models in the Social Sciences. - New York: Blaisdell Publishing Co., 1962; reprinted by M.I.T. Press, Cambridge, Mass, 1972).

Разумеется, при проведении подобных исследований в условиях России нельзя не учитывать тот факт, что многие из многочисленных ╚партий╩ и избирательных объединений носят сугубо личностный характер и, по существу, не имеют явно выраженных идейных и идеологических противоречий.
 
 

Использование знакового орграфа в качестве модели сложной системы основано на следующем представлении. Наиболее существенные для рассматриваемой проблемы переменные считаются вершинами орграфа. От переменной u к переменной v проводится дуга, если изменение u оказывает непосредственное существенное воздействие на v. И, наконец, эта дуга имеет знак плюс, если воздействие является ╚усилением╩ (при прочих равных условиях увеличение u приводит к увеличению v и уменьшение u приводит к уменьшению v), и знак минус, если воздействие вызывает ╚торможение╩ (при прочих равных условиях увеличение u приводит к уменьшению v и уменьшение u приводит к увеличению v).

Контуры в знаковом орграфе соответствуют контурам обратной связи, причем контуры, усиливающие отклонение - контурам положительной обратной связи, а контуры, противодействующие отклонению, - контурам отрицательной обратной связи.

Контур противодействующий отклонению - это такой контур, в котором увеличение любой переменной приводит через другие переменные контура к уменьшению данной переменной и наоборот.

Контур усиливающий отклонение - это контур в котором увеличение (уменьшение) любой переменной приводит к ее последующему увеличению (уменьшению).
 
 

При этом оказывается, что знак контура замечательным образом совпадает со знаком соответствующей обратной связи!
 
 

Таким образом - в особенности, используя компьютер, совсем несложно, проанализировав соответствующий граф, определить, какие вершины-факторы ╚работают╩ на устойчивость текущего состояния системы, а какие - на изменение ситуации, то есть, например, на ее развитие или ее деградацию... Важно то, что, произведя соответствующий анализ и увидев, что возможные изменения негативны, можно попытаться ввести в модель новые вершины, новые факторы, которые повысят стабильность системы или, напротив, исключить из модели факторы, которые оказались дестабилизирующими. Очень многие из приведенных в конце статьи примеров разрабатывались именно для подобного анализа.

Оставаясь знаковым, орграф может быть в то же время взвешенным в том смысле, что его вершинам может быть приписан вес. Такие орграфы удобно использовать в моделях, позволяющих сделать некоторые допущения о влиянии изменений значения параметра одной вершины на параметры других вершин - правила изменений параметров вершин. На таких графах можно качественно и количественно оценивать изменения значений параметров вершин V(t), происходящие в системе в дискретные моменты времени под влиянием поступающего импульса (изменения) P(t), в том числе, этот импульс может быть внешним, отражающим изменение одного из параметров. Здесь знак дуги оказывается знаком изменения следующего фактора в текущий момент времени, поскольку численное значение веса вершины оказывается равным его предыдущему численному значению плюс изменение с учетом его знака, умноженного на знак дуги.