Биномиальное распределение в теории вероятностей
Биномиальное распределение описывает вероятность успеха в серии независимых испытаний Бернулли с фиксированным числом попыток n и вероятностью успеха p. Эта модель лежит в основе многих статистических приложений, от контроля качества до финансового моделирования. Формула вероятности P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) позволяет точно рассчитывать шансы на k успехов.
Рассмотрим пример: при броске монеты 10 раз вероятность ровно 5 орлов равна C(10,5) * 0.5^10 ≈ 0.246. 
График показывает, как распределение симметрично при p=0.5 и смещается при изменении p. Свойства включают математическое ожидание np и дисперсию np(1-p).
Биномиальное распределение аппроксимируется нормальным при больших n по центральной предельной теореме. Подробнее о формуле на Statistics How To, свойствах на Byju's. Рекомендуем книги: "An Introduction to Probability Theory and Its Applications" Феллера, "Introduction to Probability" Блитцштейна.
Применения
В промышленности биномиальное распределение используется для оценки дефектности партий. Например, если p=0.01 и n=100, вероятность ≤2 дефектов вычисляется суммой вероятностей. 
Это видно на диаграмме плотности. Дополнительно: LibreTexts. Книги: "A Course in Probability Theory" Чуна, "Introduction to Probability" Бертсекаса.
Расширенный расчет: для n=20, p=0.3, P(X≥10) суммируется через биномиальные коэффициенты. Нормализация облегчает вычисления при больших n. Источники: ScienceDirect. Еще видео:
