Стохастическое исчисление и финансовая математика
Стохастическое исчисление расширяет классический анализ на случай случайных процессов и лежит в основе современных моделей финансовых рынков и динамики цен активов. Оно опирается на броуновское движение, стохастический интеграл Ито и стохастические дифференциальные уравнения.
Базовым объектом стохастического исчисления является стандартное броуновское движение ({W_t}_{tge0}), обладающее независимыми нормальными приращениями, непрерывными траекториями и начальным условием (W_0=0). На основе броуновского движения строится интеграл Ито (int_0^t H_s,dW_s), определяемый как предел сумм по случайной сетке. Ключевой особенностью является формула Ито, задающая аналог формулы Тейлора для функций от стохастических процессов.
Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) вида (dX_t = mu(X_t,t),dt + sigma(X_t,t),dW_t) описывают эволюцию случайных систем. В математических финансах стохастическое исчисление даёт строгую основу для моделей цен активов и вывода формул оценивания деривативов, таких как формула Блэка–Шоулза.
Тесная связь стохастического исчисления с общими стохастическими процессами и марковскими моделями делает полезным изучение вычислительной части стохастики в связке с более фундаментальными курсами. Сначала целесообразно освоить дискретные марковские цепи и процессы Пуассона, а затем перейти к непрерывным моделям с броуновским движением.
