Стохастические процессы: базовые идеи и примеры

Стохастический процесс можно понимать как семейство случайных величин ({X_t}_{tin T}), где индекс (t) описывает время или другой параметр, а каждое значение (X_t) — состояние системы в этот момент. Классическими примерами являются простое случайное блуждание, процесс Пуассона, дискретные и непрерывные марковские цепи, а также марковские процессы более общего вида. Важно, что такие модели позволяют описывать эволюцию систем, в которых будущее поведение зависит от случайных факторов, и при этом можно выводить строгие количественные характеристики, такие как распределения hitting time, вероятности поглощения или стационарные распределения.

Одним из центральных классов являются марковские цепи, для которых выполняется свойство марковости: условное распределение будущего состояния зависит только от текущего, а не от полной истории прошлых состояний. Дискретная марковская цепь описывается матрицей переходных вероятностей (P=(p_{ij})), где элемент (p_{ij}) даёт вероятность перехода из состояния (i) в состояние (j) за один шаг.

Другой фундаментальный объект — процесс Пуассона, который моделирует случайное количество событий, происходящих во времени при фиксированной средней интенсивности (lambda). Он является счётным процессом ({N(t)}_{tge0}), где (N(t)) — число событий на интервале ([0,t]), обладающим независимыми приращениями. Такая модель успешно применяется для описания потоков заявок в системах массового обслуживания и входящего трафика.

В следующих материалах можно подробнее познакомиться с марковскими моделями, а также с приложениями стохастического анализа к финансовой инженерии; в статье о марковских цепях ниже рассматриваются цепи в дискретном времени, а в материале о стохастическом исчислении — непрерывные модели с броуновским движением.

Хорошую визуальную интуицию по случайным блужданиям и марковским моделям дают схемы состояний и траекторий процессов: